Портал функционирует при финансовой поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям.

Страницы: Пред. 1 ... 14 15 16 17 18 След.
RSS
число"Пи", почему отношение пл круга к пл сферы 1\4?
Цитата
Павел Чижов пишет:
Что меня удивляло в этих формулах, это то, что площадь квадрата к площади куба (вполне естественно) относится как 1\6, а площадь круга к площади сферы как 1\4
Но это понятно, исходя из известного, что сфера занимает минимальную площадь по сравнению с другими фигурами при равных заключённых объёмах.
Изменено: Алексей Трофимов - 24.07.2015 23:14:21
Важно совершенствовать математику.

Внимание! Данное сообщение содержит исключительно личное мнение автора. Есть основания полагать, что оно может не отвечать критериям научности.
Я немного не понял, в чем именно вопрос состоит. Что площадь сферы так относится к площади круга, я уверен, вы и сами знаете из формул ( 4пи эр квадрат к просто пи эр квадрат).

Вопрос в том, почему так получается, и почему именно такие соотношения? Ну тут две плоскости ответа. Во-первых, можно просто руками проинтегрировать поверхности круга и площадь поверхности сфера, и из вычислений увидеть, как получается такой ответ.

С кругом там вообще все элементарно - площадь его элементов рассматриваем как квадратики длиной dr и шириной r dy, после чего интегриуем r от 0 до R и dy от нуля до 2пи. Получаем R квадрат пополам, умноженный на 2пи. Сокращаем двойки, получаем известное выражение.

Для сферы чуть сложнее. Длина элемента дуги вдоль долготы равна R sin(q) dy, длина вдоль широты R dq, интегрируем от 0 до 2пи и от -пи/2 до +пи/2. Два косинуса от +/- пи/2 дадут 1+1=2, вторая двойка от 2пи, в итоге имеем снова знакомые 4пи R квадрат.

Это одна плоскость, и вычислений ручками. В другой плоскости можем посмотреть на конечный результат в общем случае объема и плоскости гиперсфер соседних размерностей. В этом случае, если взять и все посчитать, то всякие R и пи посокращаются, и получится простое рекурентное соотношение:


Вот, именно то, что вы хотели. В случае n = 3 получаем как раз вашу 1/4. Ну и заодно видим, что для гиперсфер это отношение всегда является рациональным (пи в выражении отсутствует, оно сокращается).
Внимание! Есть полагание основать, что личное мнение содержит исключительно сообщение автора. Оно может не отвечать, что соответствует научности по критериям данности.
Цитата
BETEP IIEPEMEH пишет:
В случае n = 3 получаем как раз вашу 1/4. Ну и заодно видим, что для гиперсфер это отношение всегда является рациональным (пи в выражении отсутствует, оно сокращается).
? В случае n=3 формулы вроде бы должны дать ответ для объема V и площади S гиперсферы с n+1=4. При n=2 (пространство это плоскость, сфера - окружность в нём) получается не правильно для n+1=3 (пространство это 3-объем, сфера обычная).
Тут главное не запутаться в терминах и понятиях. Давайте считать.

V1 - это количество одномерного пространства, ограниченного двумя точками. Что по формуле, что просто логически рассуждая, имеем один и тот же ответ:

V1 = 2

S1 - это площадь одномерной поверхности гиперсферы (обычной окружности), вложенной в двумерное пространство (обычная плоскость).

S1 = 2пи, обычный известный нам периметр обычной окружности

V2 - это количество двумерного пространства, ограниченного одномерным множеством точек, равноудаленных от заданной.

V2 = 2пи / (1 + 1) = пи, обычная известная нам площадь обычной окружности.

S2 - площадь двумерной поверхности гиперсферы (обычной сферы), вложенной в трехмерное пространство (наше обычное 3D).

S2 = 2пи * 2 = 4пи, обычная площадь обычной сферы.

V3 - это количество трехмерного пространства, ограниченного двумерным множеством точек, равноудаленных от заданной.

V3 = 4пи / (2 + 1) = 4/3 пи, обычный объем обычной сферы.
Внимание! Есть полагание основать, что личное мнение содержит исключительно сообщение автора. Оно может не отвечать, что соответствует научности по критериям данности.
Эти формулы справедливы только для сферы с единичным радиусом.
S2 = 4 * пи * R^2
V3 = 4/3 * пи * R^3
V3 не может быть получено из S2 по 1-й формуле.
Цитата
Olginoz пишет:
Эти формулы справедливы только для сферы с единичным радиусом.
Ну само собой. Для всех других случаев просто домножаем на R соответствующей степени.

Цитата
Olginoz пишет:
V3 не может быть получено из S2 по 1-й формуле.
Почему не может? Прекрасно получается.
S2 = 4пи
V(2+1) = S2 / (2 + 1) = 4пи / (2 + 1) = 4/3 пи
Если вы имеете в виду, что там еще степень R должна фигурировать, то, само собой, надо в этом случае писать
S2 = 4пи R*R
V(2+1) = R * S2 / (2 + 1)
И так все получится.
Внимание! Есть полагание основать, что личное мнение содержит исключительно сообщение автора. Оно может не отвечать, что соответствует научности по критериям данности.
Объём гипершара и площадь гиперсферы ЗДЕСЬ.
Изменено: Khimick - 28.07.2015 20:29:38 (ОПЕЧАТКА)
Цитата
Khimick пишет:
Объём гипершара и площадь гиперсферы  ЗДЕСЬ .
Удивительно, что объем единичного шара и площади гиперсферы имеет максимум при размерности 5, и стремится к нулю при больших размерностях. При этом объем гиперкуба с длиной ребра 1 остается равным 1.

Если вообразить возникновение нечто в бесконечномерном пространстве, стремящегося к максимальному сферическому расширению, и способного менять свою размерность, то это нечто будет стремится к размерности 5.
Olginoz, Вы заметили лишь безразмерный множитель, а на радиус в степени n не обратили внимания.
Нельзя сравнивать кубические метры с метрами гиперкубическими, как нельзя сравнивать линейные метры с метрами квадратными, как нельзя сравнивать метры с килограммами.
Цитата
Khimick пишет:
Olginoz, Вы заметили лишь безразмерный множитель, а на радиус в степени n не обратили внимания.
Нельзя сравнивать кубические метры с метрами гиперкубическими, как нельзя сравнивать линейные метры с метрами квадратными, как нельзя сравнивать метры с килограммами.
Химик, внимательно перечитайте предыдущие посты, и не приписывайте мне чужие ошибки.
Страницы: Пред. 1 ... 14 15 16 17 18 След.
Читают тему (гостей: 1, пользователей: 0, из них скрытых: 0)

число"Пи"