Портал создан при поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям.

В гости к антиподам

Наталья Карпушина

Полёт сквозь Землю

Вы помните, с чего начались приключения главной героини сказки «Алиса в Стране чудес»? В погоне за Белым Кроликом Алиса юркнула в нору, не подумав, как выберется обратно. Сначала нора шла прямо, затем внезапно оборвалась вниз, и Алиса полетела в глубокий колодец... Падение затянулось, у девочки разыгралось воображение, в голове один за другим рождались вопросы: «Интересно, сколько миль я уже пролетела?.. На какой я теперь широте и долготе? А вдруг я пролечу всю Землю насквозь? Вот будет смех: вылезу и окажусь среди людей, ходящих вниз головой и вверх ногами!.. Придётся у них спросить, что это за страна: Новая Зеландия или Австралия?»

Обеспечим библиотеки России научными изданиями!

Сколько вопросов сразу, и многие отнюдь не детские! Но что тут удивляться, ведь Алиса задаёт их постоянно. Будем разбираться по порядку.

Полёт сквозь Землю из одной точки на поверхности в другую, диаметрально противоположную ей, конечно, выдумка, но какая! Почти научная, дающая простор воображению и мысленным экспериментам. Только представьте себе: Алисе пришлось бы преодолеть около 8000 миль, или 12 900 км, наблюдая нутро нашей планеты, каким его описывают учёные. Она увидела бы, что Земля состоит из слоёв разной толщины и плотности. Чтобы добраться до её центра, нужно сперва проникнуть сквозь земную кору (её толщину можно сравнить с тонкой кожицей очень большого яблока). Затем преодолеть слой вязкой мантии и где-то на полпути к цели окунуться в двойное ядро размером с Марс, жидкое снаружи и твёрдое внутри...

«Верх» и «низ» — понятия относительные

Допустим, Алиса пролетела Землю насквозь и оказалась на другой её стороне. Вот она удивилась бы, что люди там ходят не на руках, а на ногах! Но если представить себе, что Земля прозрачна и можно видеть, что творится на её противоположной стороне, то антиподы и впрямь казались бы девочке ходящими вниз головой и были бы обращены к ней ногами. И точно так же смотрелась бы Алиса по отношению к ним. Выражаясь языком геометрии, ситуация симметрична относительно центра Земли, при этом человек в точке A и его антипод в точке B противоположно направлены (рис. 1). Далее для простоты будем считать Землю шаром, а диаметрально противоположные точки A и B — полюсами.

Вряд ли Алиса допустила бы ошибку, знай она, что «верх» и «низ» — понятия относительные и связаны с направлением силы тяжести, то есть силы притяжения к Земле, действующей на все тела, что находятся на поверхности планеты или вблизи неё. Далеко за её пределами эти понятия вообще теряют смысл. Сила тяжести, как известно, направлена к центру Земли, так что для всякого её жителя «низ» находится там, где ноги, а «верх» — там, где голова. Точное направление «вниз» в любом месте, где бы мы ни находились, укажет подвешенный на верёвочке малый груз, будучи в состоянии равновесия. Итак, направление «вниз» хоть и разное в различных точках земного шара (и антиподы — наглядное тому подтверждение), но всегда означает одно — «к центру Земли», так что повсюду люди ходят головой вверх и никак иначе! А разницу в направлениях мы не замечаем потому, что с высоты собственного роста в состоянии обозреть участок Земли, ничтожно малый по сравнению с её размерами; глазу он кажется плоским, а все видимые отвесные линии — параллельными. Стоит ли удивляться, что в древности людям Земля представлялась плоским диском! Оказывается, их наивные представления имеют вполне научное объяснение.

Кратчайшие пути

Гипотетически попасть в гости к антиподам можно «напрямую», если пролететь земной шар насквозь, либо обогнуть пол-Земли, и такой путь по её поверхности был бы самым коротким, в чём нетрудно убедиться, натянув нить между полюсами на глобусе. В самом деле, центральную симметрию можно рассматривать как поворот вокруг заданной точки на 180о. Вспомним: чтобы построить точку В, симметричную А относительно точки О, нужно провести прямую АО и отложить на ней отрезок ОB = АО. Угол АOB развёрнутый, значит, мы просто повернули точку А вокруг О на 180о. Такой поворот можно осуществить в любой плоскости, содержащей прямую AO.

Поскольку плоскость однозначно задаётся тремя точками, не лежащими на одной прямой, а две точки у нас уже есть — полюса А и В, остаётся выбрать третью — обозначим её буквой С. Где именно? Да где угодно на земной поверхности, моделью которой служит граница шара — сфера. Плоскость АВС пройдёт через центр сферы и пересечёт её по линии, делящей сферу пополам (рис. 2). Эта линия называется большой окружностью и является аналогом прямой на плоскости. Подобно тому как на плоскости кратчайший путь между двумя точками проходит по прямой, на сфере он пролегает вдоль большой окружности (рис. 3). Если бы точки А и В были произвольными, мы выбрали бы меньшую из двух дуг AB большой окружности. В данном случае можно взять любую из равных дуг с концами в точках А и В.

Выходит, кратчайших путей к антиподам два, они «равноправны» и отличаются только направлением движения (по окружности из точки А можно двигаться по часовой стрелке или против неё). На земном шаре наш путь проляжет по меридиану. Аналогично при произвольном выборе точки А он пройдёт вдоль противоположных меридианов, включив в себя часть каждого, то есть будет складываться из дуг двух меридианов, образующих большой круг. А сколько всего путей у нас будет на выбор, если точка А окажется на экваторе, и как они пролягут? Оказывается, четыре: к двум указанным добавятся ещё два — пролегающие вдоль экватора, который также представляет собой большой круг.

В поисках координат

Положение любой точки А на поверхности Земли определяется её географическими координатами — широтой и долготой (рис. 4). Широта — это угол φ между плоскостью экватора и радиусом, проведённым в точку А. Он измеряется дугой меридиана, проходящего через эту точку, и отсчитывается к северу или к югу от экватора в пределах от 0 до 90о. Долгота — это угол γ между плоскостями Гринвичского (нулевого) меридиана и меридиана, где лежит точка А. Он отсчитывается от первого к западу или к востоку вдоль экватора в пределах от 0 до 180о.

Если бы Алиса всё это знала, то, падая по прямой к центру Земли, не задавалась бы вопросом: на какой она теперь широте и долготе? Ведь менялось её расстояние до центра планеты, а не углы φ и γ. Другое дело, если бы Алиса отправилась в путешествие по земной поверхности. Выйдя из пункта A в одном полушарии и обогнув пол-Земли, двигаясь вдоль меридианов, она оказалась бы в пункте B в другом полушарии: на такой же широте φ, но по ту сторону экватора и на долготе γ –180о по другую сторону от нулевого меридиана. При вычислении координат антиподной точки главное — не забыть заменить северную широту на южную и наоборот, а восточную долготу — на западную и наоборот. Это общее правило касается также точек, расположенных на экваторе и имеющих нулевую широту, и Северного и Южного полюсов с нулевой долготой.

Как видим, расчёт географических координат точек-антиподов — задача прежде всего геометрическая, и решить её помогают соображения симметрии. И что приятно, у нас есть выбор. Необязательно двигаться из одной точки в другую по меридианам и пересекать полюс Земли, можно сократить путь, последовав примеру сообразительной героини Кэрролла: мысленно провести диаметр АВ и «спуститься» по нему сквозь земной шар.

Где же ты, земля антиподов?

Ну а теперь ответим на последний вопрос: где могла бы состояться встреча Алисы с антиподами, сумей она добраться из Лондона на другую сторону Земли, — в Новой Зеландии, в Австралии или где-то ещё?

Координаты Лондона известны: 51о30' с. ш., 0о7' з. д. Точка-антипод имеет координаты 51о30' ю. ш., 179о53' в. д. Взглянув на глобус или на карту, мы увидим, что эта точка находится посреди Тихого океана. Ничего удивительного: большинство населённых пунктов не имеет наземных антиподов, поскольку более 70% поверхности Земли покрыто водой, а основная часть суши сосредоточена в одном полушарии — Северном. Ближайшая к найденной точке суша находится на расстоянии около 240 км и представляет собой архипелаг площадью всего 21 км2. Это острова Антиподов (рис. 5), открытые британцами в 1800 году и названные так потому, что лежат вблизи меридиана, противоположного Гринвичскому. Архипелаг расположен к юго-востоку от Новой Зеландии и является частью её территории. Это и есть наиболее подходящее место встречи Алисы с антиподами. И если бы на этих островах жили люди, то на вопрос, что это за страна, они ответили бы: «Новая Зеландия!»

Вот так благодаря Льюису Кэрроллу, известному специалисту по «пище для ума» — писатель никогда не упускал случая озадачить юного читателя, — история про антиподов попала в сказку про Алису. А мы получили возможность вспомнить географию и ещё разок поупражняться в геометрии.


Случайная статья


Другие статьи из рубрики «Математические досуги»