Задачка - то Кости элементарная.
Составим уравнение движения дробины, приняв за начало координат центр шара.
Считаем, что трение пренебрежимо мало.
Пусть
R - радиус шара,
M - масса шара,
m - масса дробины,
x - координата дробины в канале,
Г- гравитационная постоянная,
Mx - масса той части шара, которая заключена в сфере радиуса x , т.е., лежит ниже дробины.
Очевидно,
Mx = (x^3/R^3)*M
По закону всемирного тяготения на дробину действует сила:
F = (Г*Mx*m/x^2) =(Г*M*m/R^3)*x
Записываем 2 закон Ньютона для дробины:
x " + (Г*M/R^3)*x = 0
(здесь x " обозначена вторая производная x по времени, а масса m дробины сократилась).
Получили классическое уравнение гармонического осциллятора (грузика на пружинке):
x" +( w^2)*x = 0,
в котором частота
w = sqrt(Г*M/R^3).
Вывод: дробина будет колебаться с постоянной частотой sqrt(Г*M/R^3), не зависящей от амплитуды.
Если трение не учитывать, а дробину запустить с поверхности шара, то она будет колебаться вечно с данной частотой и амплитудой R.
Если трение существует, но слабое, то амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, но частота останется постоянной.
Составим уравнение движения дробины, приняв за начало координат центр шара.
Считаем, что трение пренебрежимо мало.
Пусть
R - радиус шара,
M - масса шара,
m - масса дробины,
x - координата дробины в канале,
Г- гравитационная постоянная,
Mx - масса той части шара, которая заключена в сфере радиуса x , т.е., лежит ниже дробины.
Очевидно,
Mx = (x^3/R^3)*M
По закону всемирного тяготения на дробину действует сила:
F = (Г*Mx*m/x^2) =(Г*M*m/R^3)*x
Записываем 2 закон Ньютона для дробины:
x " + (Г*M/R^3)*x = 0
(здесь x " обозначена вторая производная x по времени, а масса m дробины сократилась).
Получили классическое уравнение гармонического осциллятора (грузика на пружинке):
x" +( w^2)*x = 0,
в котором частота
w = sqrt(Г*M/R^3).
Вывод: дробина будет колебаться с постоянной частотой sqrt(Г*M/R^3), не зависящей от амплитуды.
Если трение не учитывать, а дробину запустить с поверхности шара, то она будет колебаться вечно с данной частотой и амплитудой R.
Если трение существует, но слабое, то амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, но частота останется постоянной.
