Портал создан при поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям.

ВСЕГДА ЛИ 1:1 РАВНО 135000:135000?

И. ГОЛЬДФАЙН.

Что общего между игрой в “орлянку”, поведением людских толп и распадом куска радиоактивного вещества? Все эти явления подчиняются так называемому закону больших чисел.

Как ни странно это сказать,
а художество требует еще большей
точности, чем наука.

Лев Толстой.

Обеспечим библиотеки России научными изданиями!

В рассказе “Севастополь в мае” Л. Н. Толстой предлагает заменить сражение армий поединком двух солдат:

“... какая бы была разница между одним русским, воюющим против одного представителя союзников, и между 80 тысячами русских, воюющих против 80 тысяч? Отчего не 135 тысяч против 135 тысяч? Отчего не 20 тысяч против 20 тысяч? Отчего не один против одного? Никак одно не логичнее другого”.

Это предложение — только шутка, сражение никак не сводится к серии поединков. И нельзя считать, что “один против одного все равно, что сто тридцать пять тысяч против ста тридцати пяти тысяч”. Против этого возражает теория вероятностей, один из важнейших разделов математики, изучающий ситуации, в которых может быть несколько непредсказуемых исходов (в нашем случае у поединка их два). Каждому исходу ставится в соответствие его вероятность, положительное число p, не превышающее 1.

Теория вероятностей применима только к многократно повторяющимся событиям. Например, если один человек имел контакт с заразным больным, то он может заразиться, а может и не заразиться. Но если в городе появятся сотни больных с остро заразным заболеванием, с помощью теории вероятностей можно предсказать скорость распространения эпидемии.

При выполнении некоторых, вполне естественных, условий проявляется следующее важнейшее свойство вероятности.

Пусть вероятность одного исхода некоторого явления равна p, и пусть это явление повторяется многократно N раз. Тогда этот исход произойдет примерно pN раз.

Если вместо выражений “естественные условия”, “примерно” и так далее подставить точные формулы, получим закон больших чисел. Такое название связано с тем, что чем больше N, тем точнее он выполняется. Этот закон позволяет предсказывать результаты событий с “непредсказуемым” исходом. Суть его заключается в следующем.

Если явление подчиняется вероятностным законам и повторяется много раз, можно заранее достаточно точно предсказать, сколько раз произойдет каждый из возможных его исходов, хотя невозможно заранее предсказать результат в каждом конкретном случае.

Рассмотрим простейший опыт — бросание монеты. У него два исхода: монета может упасть орлом или решкой. Обоим исходам естественно приписать равные вероятности 0,5. Поэтому, опираясь на закон больших чисел, можно смело утверждать, что, если монету бросить 1000 раз, орел выпадет примерно 500 раз. И такие опыты проводились: американский статистик А. К. Пирсон бросил монету 24000 раз, получив 12012 гербов.

Атомы радиоактивных изотопов самопроизвольно распадаются, причем можно вычислить вероятность p распада атома за некоторое время. А рассчитав по закону больших чисел время, за которое распадется половина атомов элемента, мы получим важнейшую его характеристику — период полураспада.

Пример из биологии — опыт Грегора Менделя, который сеял гибридные семена гороха желтого цвета, а получал желтые и зеленые семена, причем в отношении примерно 3:1. Впоследствии, с развитием генетики, было найдено биологическое обоснование этого явления, названного “расщеплением признаков”.

Удивительно, что не только атомы и семена растений, но и поведение людей подчиняется закону вероятности. Человек часто не знает, как он поступит в определенной ситуации, а планируя дело, в котором должно участвовать много людей, необходимо предсказать их поведение. К счастью, часто можно прямо или косвенно оценить вероятность выбора человеком одного варианта поведения из нескольких возможных и оценить, сколько народу будет вести себя соответствующим образом.

А теперь попробуем опять вернуться к Л. Н. Толстому. В рассуждениях о роли личности в истории, щедро разбросанных по роману “Война и мир”, он исходит из того, что каждое историческое событие — результат действия громадного числа людей. Действия этих людей непредсказуемы, и, следовательно, никто не может своими действиями повлиять на ход истории. “Такой же причиной (войны. — И. Г.), как отказ Наполеона отвести войска за Вислу... представляется нам и желание или нежелание первого французского капрала поступить на вторичную службу: ибо, ежели бы он не захотел идти на службу и не захотел бы другой и третий, и тысячный капрал и солдат, настолько менее людей было бы в войске Наполеона, и войны не могло бы быть”.

Писатель рассуждает от противного: если признать, что ход исторических событий зависел от решений Наполеона, то получается, что он зависел также и от решений первого, второго и всех остальных капралов.

Но Наполеон один, а капралов много, и поэтому решения Наполеона не подчиняются закону больших чисел, а решения капралов ему подчиняются. Можно оценить, сколько их запишется на второй срок весной 1812 года, вычислив соответствующую вероятность по данным за 1811 год.

Невозможно было предсказать заранее, подпишется ли на второй срок конкретный капрал Жак. Даже если изучить его личность и все его обстоятельства, получить точный ответ невозможно, поскольку человек способен на неожиданные, непредсказуемые поступки. Но поведение многотысячной массы солдат подчинялось законам теории вероятностей.

Наполеон вряд ли, конечно, рассуждал подобным образом, но на основании опыта мог полагать, что относительно поведения капралов весна 1812 года не будет сильно отличаться от весны 1811 года. Так что решение капрала и решение Наполеона — вещи несравнимые. Почему же столь очевидные соображения не учел писатель?

А очевидны ли эти соображения? И если очевидны, то для кого? По-видимому, подобные аналогии естественны только для человека, знакомого с теорией вероятностей, привыкшего иметь дело с явлениями, исход которых зависит от множества случайностей.

Во времена Льва Толстого человек, приезжавший по железной дороге в город, брал извозчика. Рассуждения писателя могли привести к выводу, что каждый пассажир рискует оказаться в незавидной ситуации, “если первый извозчик в этот день не приедет к вокзалу, и второй, и третий, и...”. Однако ни самого писателя, ни его попутчиков эта проблема не волновала. Опыт показывал, что, как правило, на вокзалах извозчиков было достаточно, и такие аналогии не приходили на ум писателю.

Но что же общего между столь несхожими явлениями: капралом, который может пойти, а может и не пойти на вторичную службу; извозчиком, который может поехать и может не поехать на вокзал, и, наконец, атомом, который может распасться, а может и не распасться в данный момент? То, что все они, по существу, подчиняются одному и тому же закону больших чисел, хотя на первый взгляд аналогию между ними подметить трудно.

Еще недавно царила иллюзия, что с помощью математики вот-вот будет сказано новое слово в экономических, политических и других общественных науках. Теперь, похоже, маятник качнулся в другую сторону, и все идет к тому, что скоро возможности математики будут принижаться. Но при любых оценках бесспорным остается то, что математика позволяет видеть общее в совершенно различных на первый взгляд явлениях природы, общественной и экономической жизни.


Случайная статья


Другие статьи из рубрики «Математические досуги»