Портал создан при поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ И СТАТИКИ

Кандидат физико-математических наук В. ПОГОЖЕВ.

Продолжаем публиковать разбор конкурсных задач, предлагавшихся поступающим на физический факультет МГУ в разные годы (см. "Наука и жизнь" № 2, 2001 г.). Следует отметить, что статьи рубрики "Абитуриенту на заметку" не учебник, а дополнение к нему. Они дают расширенное и более точное представление о физических явлениях, рассказывают о методике решения задач и разъясняют непростые случаи, которые могут встретиться на вступительных экзаменах. Не выходя за рамки программы средней школы, статьи тем не менее адресованы именно абитуриентам, то есть тем, кто заканчивает школу и готовится поступать в вуз. Родители, посочувствуйте своим чадам: чтобы поступить в вуз, они должны знать все, что здесь написано, и даже еще больше.

Рис. 1.
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 4.

При решении обсуждаемых задач желательно придерживаться следующего стандартного порядка.

Нарисуйте объекты, взаимодействие которых требуется учесть, и изобразите силы, действующие на каждое из рассматриваемых тел, помня о третьем законе Ньютона (рисуйте силы парами!). При этом силы реакции, с которыми взаимодействуют соприкасающиеся твердые тела и которые обычно не известны, удобно изображать в виде двух составляющих: N, направленной по нормали к границе раздела соприкасающихся тел, и перпендикулярной ей тангенциальной Fтр, обычно называемой силой сухого трения. Такой способ изображения силы реакции обусловлен тем, что величины указанных составляющих взаимосвязаны. Согласно закону Кулона-Амона, величина силы сухого трения покоя FтрμN, где μ коэффициент трения, а ее направление противоположно тому, в котором двигалось бы данное тело относительно соприкасающегося с ним в отсутствие трения. При наличии скольжения обычно полагают, что величина силы сухого трения не зависит от скорости и равна μN, хотя в действительности Fтр по мере роста скорости относительного движения может вначале уменьшаться (вплоть до двух раз), а затем, увеличиваясь, даже превысить максимальное значение силы сухого трения покоя.

Глядя на сделанный рисунок, запишите для каждого из тел уравнение движения в виде miai=ΣF i, где ΣFi векторная сумма всех сил, действующих на тело массой mi, центр масс которого движется с ускорением аi относительно инерциальной системы отсчета (ИСО). Обычно для дальнейшего решения задачи составленные векторные уравнения следует переписать в проекциях на оси декартовой ИСО. Хотя существование ИСО постулируется первым законом Ньютона, только на основании опыта удается определить, с каким реальным телом следует связать систему отсчета, чтобы ее можно было считать инерциальной.

Согласно современным данным, при исследовании движения тел в небольшой области пространства в течение нескольких минут обычные методы измерения дают результаты, согласующиеся с расчетными в пределах ошибок измерения, если инерциальной считать лабораторную систему (ЛСО), то есть систему отсчета, неподвижную относительно тех точек поверхности Земли, вблизи которых производится эксперимент. При этом силу Fгр гравитационного притяжения тела к Земле следует заменить силой тяжести Fт, под действием которой тело относительно ЛСО двигалось бы с ускорением, равным ускорению свободного падения g в той области, где производится эксперимент. Из сказанного следует, что по определению Fт=mg. Сколь сильно отличаются друг от друга Fгр и Fт по величине и направлению, зависит от географического положения интересующей области и, в первую очередь, обусловлено суточным вращением Земли и отклонением ее формы от сферически симметричной.

Если же речь идет о более масштабных движениях, например движении искусственных спутников Земли, то инерциальной обычно можно считать геоцентрическую систему, центр которой совпадает с центром Земли, а оси направлены на достаточно удаленные от Земли звезды.

Полученная указанным способом система уравнений, как правило, оказывается неполной. Запишите недостающие уравнения, учитывая кинематические связи между телами системы, особенности сил и специальные допущения. Если в задаче особо не оговариваются иные условия, то по умолчанию, без формулировки их в явной форме, обычно считают выполненными так называемые "стандартные" допущения:

при криволинейном движении размеры тел столь малы, что их можно заменить материальными точками. При прямолинейном движении считается, что тела движутся поступательно и являются твердыми;

все нити, связывающие тела, нерастяжимы и в процессе движения остаются натянутыми. Если тела соединены пружинами, то при установившемся движении натяжение пружин не изменяется и их длина остается постоянной;

участки нитей, не лежащие на блоках, при движении тел не изменяют своей ориентации относительно поверхностей, по которым движутся связанные нитями тела;

грузы по наклонным плоскостям движутся так, что их скорости перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей с горизонтальной плоскостью;

блоки, если они вращаются при движении тел, считаются идеальными цилиндрами, вращающимися вокруг своих геометрических осей, и на них не действуют силы сопротивления движению;

действием воздуха на рассматриваемые тела, массой нитей и блоков, а также гравитационным взаимодействием тел можно пренебречь.

Следует отметить, что многие абитуриенты испытывают серьезные трудности не только при обосновании возможности применения в данной конкретной ситуации этих допущений и вытекающих из них следствий, но и при формулировке самих допущений. Это, по-видимому, связано с тем, что в школьных учебниках и пособиях для поступающих "стандартным" допущениям порой не уделяется должного внимания.

Решите полученную полную систему уравнений, обращая внимание на равносильность производимых математических преобразований и выделяя особые с точки зрения математики случаи. Часто некоторые из полученных решений не удовлетворяют возможным значениям искомой величины с точки зрения ее физического смысла и условия задачи. Ясно, что такие решения должны быть отброшены.

Проанализируйте полученные решения с точки зрения размерности и так называемых предельных случаев.

Подставьте в полученные выражения заданные числовые значения, помня о существовании разных систем единиц измерения и соблюдая разумную точность при вычислениях. Если числовые данные в условии не приведены, найдите соотношения между входящими в ответ величинами, при которых справедливо полученное решение.

Применение указанной схемы должно помочь не только избежать часто встречающихся у абитуриентов ошибок, но и быстрее получить правильный ответ. В качестве иллюстрации рассмотрим решение задач, предлагавшихся на вступительных испытаниях на физическом факультете МГУ в последние годы.

Задача 1 (1998 г.). На горизонтальной плоскости стоит гладкий клин массой М с углом α при основании. На клин положили брусок массой m, к которому прикреплена легкая нерастяжимая нить, проходящая через зажим, закрепленный на клине так, как показано на рис. 1. С каким ускорением может двигаться клин после того, как брусок отпустят без начальной скорости, если максимальная величина силы трения покоя нити о зажим равна F?

Решение. Поскольку клин по условию задачи является гладким, сила R реакции горизонталь ной плоскости, действующая на него, направлена вертикально вверх, а сила N реакции клина на брусок - по нормали к наклонной плоскости клина так, как показано на рис. 2. Здесь же изображены сила , действующая на клин со стороны бруска, и силы тяжести mg и Mg, действующие на брусок и клин. По условию задачи на нить не действуют силы тяжести. Поэтому в соответствии с рис. 1 отрезок нити между бруском и зажимом можно считать прямолинейным и параллельным наклонной плоскости клина. Поскольку со стороны нити на зажим и прикрепленный к ней брусок действуют силы, направленные только вдоль ее оси, можно утверждать, что эти силы параллельны наклонной плоскости клина и направлены так, как показано на рис. 2. С учетом обозначений, использованных на этом рисунке, и третьего закона Ньютона силы, действующие на нить со стороны зажима (T) и бруска (Т*), должны удовлетворять условиям: и . Поскольку на нить не действуют другие тела, масса нити полагается равной нулю, а ее ускорение, очевидно, может быть только величиной ограниченной, то на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что а потому . С учетом полученных соотношений, считая, как обычно лабораторную систему XOY, неподвижную относительно плоскости, на которой стоит клин, инерциальной, уравнения движения клина и бруска в проекциях на оси этой системы можно записать в виде:

где Ах и Ау проекции ускорения А клина на оси ОХ и ОY, ах и ау проекции ускорения бруска на указанные оси.

Если ускорение бруска равно нулю, то из двух последних уравнений следует, что T = m g sinα . Поэтому если F ≥ T, то и брусок и клин должны оставаться неподвижными, то есть при F ≥ m g sinα ускорение клина A = 0.

Если же F < m g sinα , то сила натяжения нити Т при сделанных выше предположениях будет равна F максимальной величине силы трения нити о зажим и брусок должен скользить по клину, а клин, в свою очередь, также должен двигаться с некоторым ускорением. Поскольку клин может двигаться только горизонтально, то Ay = 0. Ясно, что отличные от нуля компоненты ускорений клина и бруска не могут быть независимыми, так как брусок по условию движется лишь по поверхности клина. В системе координат X1О1Y 1, неподвижной относительно клина, оси которой параллельны осям лабораторной системы отсчета XOY, приращения координат и некоторой точки бруска должны удовлетворять условию . Учитывая, что начала отсчета на осях OY и O1Y1, показанных на рис. 2 систем координат, не смещаются по вертикали друг относительно друга при возможных перемещениях клина, можно утверждать, что . Вместе с тем, если клин испытывает перемещение , а брусок относительно клина смещается на , координаты точек бруска относительно оси изменяются на . Таким образом, приращения координат клина и бруска относительно осей лабораторной системы отсчета связаны между собой соотношением .Учитывая, что полученное соотношение справедливо для любых моментов времени, когда брусок находится на клине, на основании последнего соотношения и определений скорости и ускорения в данном направлении можно утверждать, что составляющие ускорений бруска и клина, входящие в уравнения движения этих тел, связаны между собой соотношением ay = (ax - Ax) tg α. Из этого выражения и уравнения движения бруска следует, что

m Ax sinα = mg cos α - N/ Умножив обе части полученного соотношения на sina и сложив результат с первым уравнением движения клина, определим проекцию ускорения клина на ось ОХ при F < mg sinα:

Таким образом, при выполнении сделанных в ходе решения задачи предположений проекция ускорения клина на ось ОХ равна:

Задача 2 (1997 г.). Через гладкий блок, прикрепленный к гладкой неподвижной наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α, перекинута легкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к бруску массой М, лежащему на плоскости, а свисающий конец пропущен через узкое отверстие в грузе массой m, как показано на рис. 3. Если одновременно отпустить брусок и груз, нить будет проскальзывать через отверстие с постоянным ускорением а относительно груза. Найти силу натяжения нити.

Решение. Для решения задачи выберем неподвижную относительно наклонной плоскости систему координат XОY так, как показано на рис. 4. Будем считать, что центр масс бруска и нить лежат в одной вертикальной плоскости, перпендикулярной линии пересечения заданной наклонной плоскости с горизонтом. Поскольку нить нерастяжима, а груз после отпускания (момент времени t=0) скользит относительно нити с постоянным ускорением, то координата у бруска и координата х груза для произвольного момента времени 0 < t < tk, где tк момент времени, когда либо брусок хотя бы частично начнет соскальзывать с наклонной плоскости, либо груз перестанет двигаться по нити, должны удовлетворять соотношению

x + y = C + at2/2,

где С длина отрезка нити от бруска до верхней грани груза перед их отпусканием. Поэтому проекция скорости груза на ось ОХ

и проекция скорости бруска на ось ОY

для указанных моментов времени должны удовлетворять соотношению

.

Следовательно, уравнение кинематической связи - соотношение между соответствующими координатами ускорения бруска и груза - имеет вид ax + Ay = a.

Поскольку блок гладкий, а нить невесома, то величина Т силы натяжения на всем отрезке нити от бруска до верхнего торца груза остается постоянной. Учитывая, что наклонная плоскость гладкая, и пренебрегая силами трения со стороны окружающей рассматриваемые тела среды, на основании второго закона Ньютона уравнения движения бруска и груза для указанных моментов времени можно записать в виде

m ax = m g - T

и

M Ay = M g sinα - T,

где g величина ускорения свободного падения. Конечно, сказанное верно в предположении, что связанная с плоскостью ЛСО инерциальна.

Решая совместно уравнения кинематической связи и движения тел, найдем искомую величину силы натяжения нити при выполнении сделанных предположений:

(Окончание следует.)


Случайная статья


Другие статьи из рубрики «Абитуриенту -- на заметку»