Портал создан при поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям.

А КАК У ВАС ДЕЛА НАСЧЕТ КАРТОШКИ?..

А. ДЕМЕНКОВ, Д. ДЕМЕНКОВ, С. ДЕМЕНКОВ (г. Днепропетровск).

Авторы статьи много раз ходили на рынок, покупали картофель, занимались его очисткой. Покупки с точки зрения материальных затрат случались и удачные и неудачные; причем, чем больше авторы пытались рассуждать о причинах этого на обыденном уровне, тем результаты становились плачевнее. Это подвигло на разработку теоретического подхода к проблеме: уж очень хотелось понять хоть некоторые закономерности формирования цены на картофель и стать удачливыми покупателями.

Основные понятия и соотношения

1. Клубни картофеля представляются в виде сплошных однородных тел, имеющих формы трехосных эллипсоидов:

(1)

где а, b, с (аbс) - полуоси эллипсоидов вдоль осей х, y, z.

Объем V и вес Р таких тел определяется формулой

P = ρV, (2)

где ρ - удельный вес картофеля.

2. Процесс чистки картофеля заключается в снятии с поверхности клубня слоя толщиной δ. Величина δ для клубня считается не зависящей от координат х, y, z. Она может зависеть как от покупателя (умения чистящего, используемого им оборудования и т. д.), так и от производителя (гладкости поверхности выращенного им клубня; повреждений клубня, полученных при уборке урожая, транспортировке, хранении и др.). Таким образом, величина δ выступает показателем качества картофеля, причем покупатель и продавец могут оценивать один и тот же товар по-разному.

3. Величина отношения веса клубня после очистки Po к весу клубня до очистки Pн исходя из (2) определяется формулой

(3)

Зависимость (3) показывает, что чем больше размеры клубня и чем меньше толщина слоя очистки, тем относительно большая часть клубня идет на потребление.

На рис. 1 приведена зависимость (3) для случая параметров а и b, пропорциональных параметру C (a = αC, b = βC), то есть для случая изменения объемов клубней при сохранении заданной формы (α = 1,5 и β = 1,27). Здесь же дана и обратная зависимость К-1 = 1/К. Эти зависимости лежат в основе всех проведенных в работе расчетов.

4. Цена очищенного картофеля Co связана с ценой неочищенного картофеля Сн зависимостью

РоС о = Рн Сн (4)

(стоимость самой очистки не учитывается). Отсюда получаются соотношения:

Сн = КСо; Со = К-1Сн . (5)

Исходя из (5) функцию К можно трактовать как зависимость, определяющую цену неочищенного картофеля Сн при цене очищенного картофеля Со = 1. Соответственно функция К-1 трактуется как зависимость, определяющая Со при Сн = 1. При Со, равном некоторому значению С*о, или при Сн, равном Сн*, зависимости для Сн и Со получаются при деформировании кривых К и К-1 соответственно в Со* и Сн* раз вдоль оси ОСн (ОСо) (см. рис. 1).

5. Предполагается, что существует максимальная цена на очищенный картофель (в конечном счете, именно его и покупают), которая определяется урожаем картофеля и ценами на другие продукты питания (макаронные изделия, хлеб, крупы и др.) и превышение которой приводит к отказу покупателя от картофеля в пользу других продуктов.

На рис. 2 в условных единицах обозначена величина Соmax = 1 и соответствующие ей зависимости (5) (линии Сн, 1, 2, 3), определяющие цены на неочищенный картофель для различных величин δ (здесь и в дальнейшем цифры 1, 2, 3 на рисунках соответствуют величинам δ = 1, 2, 3 мм). Если бы рыночные цены на неочищенный картофель Сн разного качества (δ = 1, 2, 3 мм) задавались указанными зависимостями 1, 2, 3, то весь картофель как продукт питания (очищенный) был бы куплен по одинаковой цене Соmax = 1. На реальном рынке такой контроль величин геометрических параметров и качества клубней, конечно же, невозможен, поэтому зависимости для Сн неизбежно становятся кусочно-постоянными, соотносящими параметры клубней, изменяющиеся в определенных пределах, с одинаковой ценой С нo.

Оценка продавцом качества своего товара, например, величиной δ = 1 мм при 20 ммС<30 мм приводит к отпускной цене С нo для этого интервала изменения С, соответствующей точке пересечения прямой С = 20 мм и кривой Сн при δ = 1 мм на рис. 2. Это максимальная цена, обеспечивающая выполнение условия непревышения цены очищенного картофеля величины Соmax для всех δ≤1 мм. Для покупателей, оценивающих качество этого товара величиной δ>1 мм, цена очищенного картофеля будет превышать Соmax (см. рис. 2), и эти покупатели предпочтут картофелю другие продукты питания. Чтобы увеличить количество покупателей, продавцу придется согласиться с более низкой оценкой качества его товара частью потенциальных покупателей (см. на рис. 2 интервал 10 ммС<20 мм, где оценка качества δ=2 мм).

Варьируя границы интервалов постоянства цены Сно и величины δ, продавец добивается оптимального варианта, позволяющего реализовать весь картофель по наибольшей возможной цене.

С использованием полученных результатов авторы попытались провести анализ цен на картофель на рынках г. Днепропетровска в 1999 году.

Сплошными линиями Сно на рис. 3 обозначены цены (в гривнах) на картофель в августе 1999 года (картофель однородный, α=1,5; β=1,27):

Сплошными линиями 1, 2, 3 на рис. 3 нанесены определенные по приведенной выше методике цены на очищенный картофель соответственно для δ=1, 2, 3 мм.

Штриховые линии на рис. 3 - аналогичные зависимости для цен в сентябре 1999 года.

Сно =0,9 гривны при 15 мм≤С<30 мм.

Судя по всему, из-за засушливого лета 1999 года было много мелких клубней, и для более выгодного сбыта оказалось необходимым смешать их с картошкой покрупнее и продать по одной цене.

Полученные результаты позволяют сделать некоторые выводы, полезные для покупателей:

1. В пределах интервала постоянства цены Сно покупателю выгодно выбирать клубни покрупнее, и чем больше этот интервал, тем значительней выгода (ниже цена очищенного картофеля).

2. Продавец, как правило, назначает цены Сно для различных интервалов изменения параметров клубней, пользуясь пропорциональной зависимостью (см. рис. 3 - рост цен на 0,2 гривны).

Аппроксимация нелинейной зависимости линейной, так же как и интервалы постоянства цены, приводит к существованию более выгодных для покупателя вариантов, которые можно определить в результате расчетов (см. рис. 3).

3. В формуле (4) не заложена стоимость очистки картофеля, но при назначении цены Сно продавцу приходится учитывать большую трудоемкость очистки клубней малого размера. Так, как видно из результатов, приведенных на рис. 3, разница в цене Сно на клубни с параметрами С=15 мм, δ=1 мм и С=30 мм, δ=2 мм составляет 0,4 гривны, хотя, как видно из рис. 1, выход очищенного картофеля и соответственно его цена должны быть одинаковыми для этих клубней. Разница в цене и есть та сумма, которую продавец уступает покупателю меньших клубней, компенсируя ему "затраты" по очистке (площади очищаемых поверхностей в рассмотренном случае отличаются приблизительно в два раза).

Представленные результаты, конечно же, вызовут много возражений: и форма картофеля не эллипсоид, и толщина очистки даже одного клубня - величина не постоянная и др. Но попробуйте! Измерьте несколько клубней по трем характерны м размерам, прикиньте толщину очистки и оцените свою покупку (для оценки можно изготовить небольшую таблицу). А проверить правильность оценки можно экспериментально - взвесить картофель до и после очистки.


Случайная статья


Другие статьи из рубрики «Математические досуги»