Среднее расстояние от Земли до Луны - 384 395 километров.
Казалось бы, этой справки вполне достаточно для того, чтобы представить исчерпывающую картину относительного движения двух небесных тел окружность с жирной точкой - Землей - в центре; на окружности-точка поменьше, Луна; в просвете стрелки-радиуса - названное число. Может быть, только окружность придется заменить эллипсом с той же большой полуосью, и с Землей в фокусе.
Трудно поверить, что аккуратный чертеж негоден лишь потому, что на нем не хватает одной точки, которая, согласно выбранному масштабу, должна оказаться за квартал от чертежного листа. Эта недостающая точка - Солнце. Его притяжение столь существенно для движения Луны вокруг Земли, что расстояние между двумя телами постоянно отклоняется от среднего значения на весьма ощутимые доли процента.
А если учесть возмущающие влияния планет Солнечной системы! Тогда мы столкнемся с задачей, в общем виде не решенной до сих пор, несмотря на двухсот пятидесятилетние усилия математиков всего мира, среди которых было немало выдающихся.
Это знаменитая задача N тел, о которой пойдет речь в нашей статье.
ОДИН, ДВА, МНОГО!
Для тех читателей, которые прочли предисловие к статье, и заинтересовались знаменитой задачей механики, здесь в первых же строках первой главы приводится ее четкая формулировка «В пустом пространстве помещено N свободных материальных точек, которые притягиваются друг к другу по закону Ньютона. Заданы их начальные координаты, и начальные скорости. Определить последующее движение этих точек»
Здесь, как принято в математике, N обозначает целое положительное число. Как догадывается читатель, есть среди них, и такие, для которых задача N тел разрешима. Но таких случаев раз, два, и обчелся в буквальном смысле этого слова.
«Раз». Решение задачи одного тела дает первый закон Ньютона - закон инерции «Всякое тело удерживается в своем состоянии покоя или равномерного, и прямолинейного движения, пока, и поскольку оно не побуждается приложенными силами изменить это свое состояние» (Ньютон «Начала», 1687 г.). Поскольку силы могут действовать только со стороны других тел, единственное тело задачи не «побуждается приложенными силами», и движется, согласно этому закону, равномерно, и прямолинейно.
(В случае произвольного числа тел равномерно, и прямолинейно будет двигаться их центр масс, поэтому для полного описания движения остается лишь указать движение тел относительно этого центра.)
«Два». Решение задачи двух тел также было найдено Ньютоном. Оказалось, что тела все время находятся на одной прямой, которая проходит через центр масс, и может вращаться вокруг него в постоянном направлении. Траектории обоих тел представляют при этом подобные между собой кеплеровские орбиты, то есть конические сечения эллипсы, параболы, и гиперболы. Типичные примеры такого движения дают двойные звезды, связанные силами взаимного притяжения, две звезды кружат друг около друга по эллиптическим путям (рис. 1). Если пренебречь притяжением Солнца, также можно представить, и относительное движение Земли, и Луны.
Этнографы утверждают, что в языках многих первобытных народов всего три числительных - «один», «два», и «много». Как пошутил французский математик Э. Борель, в механике, как в счете первобытных людей, «много» равняется трем.
Шутка кстати! Общее решение задачи N тел для N, большего или равного трем, неизвестно вплоть до настоящего дня, хотя задачи одного, и двух тел были решены на заре современной механики
Математические трудности резко возрастают с ростом числа тел. С другой стороны, важность задачи для небесной механики, и космонавтики растет со временем.
Сейчас существует целый ряд методов для приближенного решения задачи, позволяющих для каждой конкретной системы тел с заданными конкретными начальными условиями построить траектории движения с любой нужной для практики точностью для любого ограниченного отрезка времени.
Эффективность, и надежность этих методов была неоднократно проверена при расчетах траекторий космических кораблей, и межпланетных станций. А возможности, и значение таких расчетов значительно возросли с появлением электронных цифровых вычислительных машин.
Не так давно на ЭВМ было промоделировано движение пяти внешних планет Солнечной системы за 400 лет - с 1653 по 2060 год. Результаты вычислений весьма точно совпали с данными наблюдений. Во всяком случае, не удалось установить расхождений, которые можно было бы приписать возмущающему влиянию некой неизвестной «заплутоновой» планеты.
Небесная механика обрела сейчас вторую молодость благодаря использованию ЭВМ для решения многих проблем, справиться с которыми прежде было просто невозможно. Однако никакие конкретные численные расчеты не могут дать ответа на многие вопросы качественного характера, интересующие ученых, например, на такие:
«Будет ли одно из тел всегда оставаться в некоторой области пространства или сможет удалиться в бесконечность?»
«Может ли расстояние между, какими-либо двумя из этих тел неограниченно убывать, или, напротив, это расстояние будет всегда заключено в определенных пределах?»
«Распадется ли, когда-нибудь Солнечная система, если считать, что она состоит из тел, движение которых возмущается малыми силами со стороны всех остальных небесных тел?»
Сотни подобных вопросов еще не дождались своего ответа.
Мы не собираемся здесь вдаваться в подробности, и описывать современное положение дел в этой области мы не хотим заводить неискушенного читателя в дебри сложной математики, и малопонятной специальной терминологии.
Но все же мы не можем удержаться, чтобы не упомянуть о недавних работах известного советского математика В. И Арнольда, получивших большой резонанс в научном мире. Они касаются устойчивости движения механических (гамильтоновых) систем, в том числе устойчивости планетных орбит.
Развивая идеи своего учителя академика А. Н. Колмогорова, Арнольд доказал несколько важных, и сложных теорем, из которых, в частности, жители планеты Земля могут сделать вывод о том, что еще по крайней мере в течение многих миллионов лет Солнечная система не распадется, Земля на Солнце не свалится, и в этом смысле слухи о «скором конце света» несостоятельны.
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
О задаче трех тел мы поговорим особо.
Она этого вполне заслуживает. Первоклассные математики - Жозеф Луи Лагранж, и Карл Якоби, Анри Пуанкаре, и Джордж Биркгоф - затратили на эту задачу много лет упорного труда, но так, и не получили ее решения. Она устояла, несмотря на поток блестящих идей, давших много ценных результатов.
Правда, формальное решение задачи трех тел было-таки найдено в 1912 году финским математиком К. Зундманом. Он выразил свой результат в виде степенных рядов. Но, увы, решение Зундмана мало, что дало практике для получения нужной точности (например, при расчете обычных солнечных затмений) в рядах Зундмана необходимо удерживать такое число членов, которое превышает даже так называемое «число электронов во Вселенной по Эддингтону», -, а это знаменитое число выражается единицей с сорока нулями!
Предпринимались попытки решить различные специальные случаи задачи трех тел - памятью о них в небесной механике остались «плоская задача», «ограниченная задача», «звездная задача», «копенгагенская задача» и т. д., и т. п. Так, например, под ограниченной задачей понимается случай, когда одно из тел имеет пренебрежимо малую массу по сравнению с другими и поэтому не может оказывать влияния на их движение - именно с таким случаем имеет дело космонавтика на трассах Земля - Луна.
Ни в одном из этих специальных случаев полного решения получить также не удалось.
И все-таки имеются два любопытных варианта, для которых получены точные решения задачи трех тел! Они были найдены Лагранжем, и опубликованы ровно 200 лет назад, в 1772 году, в его знаменитом мему-аре «О задаче трех тел», удостоенном впоследствии премии Парижской Академии наук.
В обоих случаях тела описывают подобные между собой кеплеровские орбиты с фокусами в центре масс (см. рис. 2, где показано эллиптическое движение).
В первом случае тела образуют лагранжеву конфигурацию - равносторонний треугольник, который может пульсировать в своих размерах, и вращаться в своей плоскости в постоянном направлении.
В другом случае конфигурация называется эйлеровой тела находятся на прямой, проходящей через центр масс, и, оставаясь на ней, вращаются, и пульсируют аналогичным образом. Независимо от Лагранжа случай был найден Леонардом Эйлером в 1767 году.
В течение около полутора столетий считалось, что решения Лагранжа имеют только чисто теоретический интерес. Сам Лагранж полагал, что они просто любопытны да, и только («Cette recherche n’est a la verite que de pure curiosite»).
Однако природа в своих проявлениях оказалась более многообразной, чем думал Лагранж.
Усилиями астрономов прошлого, и нашего века между орбитами Марса ц Юпитера был открыт Пояс астероидов - кольцо из нескольких тысяч малых планет, из которых самая крупная, Церера, имеет диаметр около 770 км, а самые маленькие, вроде астероида «Витя», едва наблюдаются в телескоп.
22 февраля 1907 года гейдельбергские астрономы занесли в звездный каталог малую планету 588 Ахиллес, которая движется по орбите Юпитера на 60е впереди него, образуя треугольную лагранжеву конфигурацию вместе с Юпитером, и Солнцем. Последующие поиски привели к открытию еще восьми астероидов, движущихся по соседству с Ахиллесом, а также пяти астероидов, идущих за Юпитером, и образующих другую лагранжеву конфигурацию (рис. 3). Все эти малые планеты названы мужскими именами, взятыми из древнегреческого эпоса о троянской войне. Астероиды первой группы («греки») - Ахиллес, Гектор, Нестор, Агамемнон, Одиссей, Аякс, Диомед, Антилох, и Менелай - названы именами героев греческого войска (исключая Гектора). Астероиды другой группы («троянцы») носят имена защитников Трои (Приам, Эней, Анхиз) - за исключением Патрокла, имя которому было дано, как, и Гектору, до того, как обнаружилось описанное разбиение «на два лагеря»
ЗЕМЛЯ, ЛУНА И СПУТНИК
Мы уже говорили, что траектории Земли, и Луны относительно их центра масс можно приближенно рассматривать, как кеплеровские эллипсы, если пренебречь притяжением Солнца.
А раз так, то, согласно Лагранжу, в окрестности системы Земля - Луна существует пять точек (рис. 4), таких, что помещенный в них спутник вместе с Землей, и Луной будет все время образовывать то или иное лагранжево решение задачи трех тел-либо эйлерову, либо лагранжеву конфигурацию.
Эти удивительные точки носят название точек либрации системы Земля - Луна. Точки, соответствующие эйлеровым конфигурациям, называются прямолинейными (коллинеарными), а лагранжевым - треугольными (эквидистантными).
Существованию точек либрации можно дать такое грубое объяснение. Предположим, что Луна, и Земля вращаются по круговым орбитам вокруг своего общего центра масс. Спутник вращается по своей орбите. Тогда точки, где центробежные силы, действующие на спутник, уравновешиваются силами притяжения Земли, и Луны, и будут точками либрации.
Движение либрационных спутников (либроидов) подвержено действию малых возмущающих сил. Самое значительное возмущение оказывает Солнце. Максимальные ускорения, которые либроид приобретает под действием солнечного притяжения, примерно в миллион раз меньше ускорения силы тяжести на Земле.
Реакция либроида на малые возмущения зависит от того, в, какой из пяти точек он находится. Прямолинейные точки неустойчивы. Это значит, что достаточно сколь угодно малой возмущающей силы для того, чтобы либроид удалился из окрестности такой точки (рис. 4).
А как поведет себя либроид в треугольной точке? Как зависит его поведение от его массы, от масс двух других тел, и от прочих параметров?
Решение этой проблемы стало возможным лишь после появления теории В. И. Арнольда.
Правда, еще в 1843 году Г. Гашо нашел, что в плоской круговой ограниченной задаче трех тел (то есть, когда масса либроида весьма мала) точки либрации могут быть устойчивыми, лишь, когда отношение масс больших тел (массы меньшего из них к массе большего) достаточно мало, а точнее, когда две эти массы удовлетворяют некоторому неравенству. Кстати сказать, для земных точек либрации это соотношение выполняется ведь масса Луны составляет примерно одну восемьдесят первую от массы Земли.
В 1962 году ученик В. И. Арнольда А. М Леонтович показал, что треугольные точки будут устойчивыми «почти для всех» достаточно малых отношений масс.
В 1967 году А. Депри (США) доказал устойчивость для всех малых отношений, кроме, быть может, некоторых трех.
И, наконец, в 1969 году аспирант Московского физико-технического института А. П. Маркеев окончательно установил, что неустойчивость может иметь место только в двух случаях, когда отношение масс равно одному из двух чисел - 0,0137 и 0,0249.
Что же следует из изложенных решений? В частности, то, что космическая частица, случайно залетевшая в устойчивую точку с малой относительной скоростью, окажется там, как в ловушке.
В 1961 году польскому астроному К Кордылевскому удалось наблюдать облако-образные скопления в треугольных точках системы Земля - Луна. В 1964 году американский астроном Д Симпсон в высокогорной обсерватории Локсли подтвердил это открытие. Облака имеют очень малую яркость, а наблюдать их приходится на фоне зодиакального света. Но эти наблюдения могли бы представить большой интерес для науки.
Точки либрации интересны для космонавтики не только, как кладовые космической мелочи. По сравнению со всеми прочими спутниками Земли, и Луны либроиды обладают некоторыми существенными преимуществами:
- устойчивые либроиды сохраняют постоянное положение относительно Земли, и Луны, и могут существовать весьма длительное время;
- все точки либрации находятся вне интенсивного магнитного поля Земли - немаловажное обстоятельство для проведения астрофизических исследований;
- либроиды подвергаются очень редким, и коротким затмениям, что облегчает задачи наблюдения, и солнечного энергоснабжения;
- из точек либрации может обозреваться практически вся небесная сфера.
По-видимому, нельзя найти более удобного места для устройства внеатмосферных астрономических обсерваторий. Для радиоастрономии особенно ценной может оказаться точка Lj (см. рис. 4), расположенная за обратной стороной Луны в «конусе молчания», защищенном от земных радиошумов. Ретрансляторы в точках либрации помогут наладить связь с лунными станциями, и луноходами на обратной стороне Луны, а также между районами лунной поверхности. Без ретрансляторов такую связь установить невозможно - ведь на Луне в отличие от Земли нет ионосферы, отражающей короткие волны.
Наконец, еще об одном «космическом удобстве», которое сулят точки либрации. Одним из самых ответственных пунктов в существующих проектах полета к Луне, и обратно является момент, когда корабль переходит с окололунной орбиты на траекторию полета к Земле. Если этот маневр сорвется, то космонавты не смогут вернуться на Землю, и будут обречены на гибель в космосе, так, как все топливо у них уже израсходовано. И вот в этот-то драматический момент космический корабль не имеет связи с Землей, потому, что находится в теневом конусе Луны. Ретрансляторы в точках либрации позволят избежать этой неприятности, и обеспечить непрерывную связь с космонавтами от старта до приземления. Базы в точках либрации смогут также использоваться, и для связи с межпланетными станциями.
В точках либрации можно будет устроить космопорты - «эфирные поселения», по выражению К. Э. Циолковского, - базы для стоянок, и техобслуживания космолетов, и луноходов, окончательной экипировки лунных экспедиций, проведения аварийно-спасательных работ, и тому подобных целей.
Даже простейший либроид - кусок металла в устойчивой точке и тот может сослужить службу науке. Оказывается, наблюдая за его колебаниями, можно с высокой точностью измерить массу Луны. Согласно недавним расчетам, эта точность будет не менее 0,001 % (сейчас мы знаем массу Луны с точностью всего 0,1 %).
Мы не будем останавливаться на экзотических проектах вроде организации в точках либрации различных технологических производств, требующих невесомости, и высокого вакуума, создания там искусственных солнц с помощью термоядерных реакций, отбуксировки туда астероидов для последующей разработки астероидных минералов, захоронения в устойчивых точках радиоактивных отходов, и многом другом. Эти проекты пока, что недостаточно обоснованы. Однако не подлежит сомнению, что уникальные «гравитационные оазисы» в точках либрации найдут в будущем многообразные применения, неведомые ученым наших дней.
Точки либрации - это своеобразный подарок природы, и, по-видимому, уже близко то время, когда люди им воспользуются.
