№11 ноябрь 2022

Портал функционирует при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций.

Логарифмические фракталы, или Почему дерево живёт в двумерном мире

Доктор физико-математических наук Сергей Григорьев, НИЦ «Курчатовский институт» — ПИЯФ

Стремясь описать предмет, человек большую часть своей истории упрощал мир вокруг себя, представляя вместо реальных объектов абстрактные модели — гладкие линии, правильные геометрические фигуры. Но мир устроен сложнее, и иногда объект можно описать лишь бесконечно изломанными, самоподобными линиями — фракталами. Облака, разряды молний, ветвление деревьев, распределение вещества в галактиках, русла рек и многое другое — всё это фрактальные объекты.

Массовый, логарифмический и приграничный фракталы.
Результат исследования изображения квадрата методом численного Фурье-анализа. По оси ординат — интенсивность рассеяния I в условных единицах, по оси абсцисс — параметр Q, зависящий от угла рассеяния. Наклон кривой рассеяния в двойном логарифмическом масштабе очень близок к 3, что соответствует нефрактальному гладкому объекту.
Схема построения фрактала «дерево да Винчи». 2, 3 и 4-я генерации.
Схема построения фрактала «дерево Пифагора». 2, 5 и 15-я генерации.
Результат исследования фотографии дуба методом Фурье-анализа. По оси ординат — интенсивность рассеяния I в условных единицах, по оси абсцисс — параметр Q, зависящий от угла рассеяния. Кривая интенсивности рассеяния имеет участок с наклоном, близким к 2, что соответствует логарифмической фрактальной структуре.

Лишь только появившись, идея о самоподобных на всех масштабах объектах захватила умы людей — видимо, оттого, что сами фракталы сочетают в себе какой-то особый порядок: не будучи периодическими и будучи бесконечными, они кажутся ограниченными.

Наглядно с фрактальным объектом можно познакомиться, рассмотрев парадокс «береговой линии». Береговая линия сильно испещрена различными неровностями так, что чем точнее пытаться измерить её длину, тем больше эта длина будет получаться, вплоть до бесконечности. Например, если измерять длину береговой линии Британии отрезками по 100 км, получим около 2800 км, а если взять отрезки по 50 км, длина будет уже 3400 км, что на 600 км больше. Таким образом, чем меньше размер линейки — инструмента для измерения длины, — тем больше длина береговой линии. Береговая линия хоть и не является самоподобной в привычном (геометрическом) смысле, но тем не менее она является фракталом. Аналогичные рассуждения верны и для других объектов.

Наличие объектов, которые невозможно измерить привычными для нас мерами (длина, площадь, объём), и привело к появлению понятия фрактал, или фрагментированный объект. Люди привыкли, что линии одномерны, поверхности двумерны, а какие-то объёмные фигуры трёхмерны. Но фракталы не укладываются в эту логику. Для описания фракталов используется фрактальная размерность, которая может быть не целой, а дробной.

Фракталы можно разделить на три основных класса: массовые (фрагментированность распределена по всему фракталу), приграничные (фрагментированность возникает за счёт границы объекта) и логарифмические, которые являются промежуточным случаем между первыми двумя классами.

Логарифмические фракталы вызывают особый интерес, поскольку они способны описать объекты живой природы. Такие объекты имеют иерархическую структуру и, кроме фрактальной размерности, которая в случае логарифмических фракталов равна целому числу, характеризуются дополнительным параметром — логарифмической подразмерно-стью. Кроме того, для таких объектов выполняется закон сохранения суммарной площади (длины, объёма) фрагментов различных поколений фрактала.

Для того чтобы измерить фрактальную размерность и классифицировать фрактал, широко используется метод рассеяния нейтронов, рентгеновского излучения или видимого света. Если на исследуемый объект падает излучение, то по зависимости интенсивности рассеянного излучения от угла рассеяния можно определить характер неоднородностей плотности вещества внутри объекта. Строится кривая интенсивности рассеяния от угла, который пересчитывается в импульс, переданный частице со стороны объекта. По наклону этой кривой в двойном логарифмическом масштабе судят как о фрактальной размерности объекта, так и о его классе.

Используя метод численного Фурье-анализа, можно смоделировать экс-перимент по рассеянию света на плоских объектах и получить информацию об их классе и размерности. Так, гладкому, однородному (нефрактальному) объекту соответствует наклон кривой в двойном логарифмическом масштабе, равный 3, а логарифмическому фракталу — 2. Для массового и приграничного фракталов наклон будет принимать значения от 1 до 2 и от 2 до 3, не включая сами эти значения — 1, 2, 3.

Подобно тому, как сегодня учёные тщательно исследуют предметы окружающего мира для максимально точного моделирования различных объектов природы, так раньше художники пытались установить природные закономерности для того, чтобы наиболее реалистично изображать окружающий мир. Гений итальянского Возрождения художник Леонардо да Винчи использовал в своих картинах закономерности, которые открывал как учёный. В том числе он пытался понять, как растут деревья. В результате наблюдений Леонардо вывел эмпирический закон ветвления дерева, который гласит: на каждом уровне ветвления суммарная площадь поперечного сечения всех ветвей одинакова и равна площади сечения ствола. Этот закон точно схватывает свойство, характерное для логарифмических фракталов: равенство длины, площади или объёма для различных уровней иерархии объекта.

Основываясь на правиле Леонардо, Джозеф Октав Индекё из Лёвенского католического университета (Бельгия) в 1998 году предложил объект, который изображает вид дерева в проекции «сверху». Построение такого объекта, который можно назвать «деревом да Винчи», происходит пошагово: берётся первый квадрат («ствол»), на первом шаге к углам этого квадрата с внешней стороны добавляются 4 квадрата, сторона каждого из которых в 2 раза меньше стороны исходного квадрата, а площадь, соответственно, в 4 раза меньше («ветви» 1-го поколения). При этом легко заметить, что площадь четырёх добавленных квадратов в сумме будет равна площади ствола. На втором шаге к углам квадратов, добавленных на предыдущем шаге, с внешней стороны пристраиваются по 4 квадрата, площадь каждого из которых в 4 раза меньше площадей квадратов, добавленных на предыдущем шаге («ветви» 2-го поколения). Таким образом, суммарная площадь квадратов, добавленных на этом шаге, будет равна суммарной площади квадратов, добавленных на предыдущем шаге, и равна площади «ствола». Дальнейшие шаги аналогичны первым двум.

Нетрудно доказать, используя простые математические соображения, что «дерево да Винчи» является логарифмиче-ским фракталом. Исследование его изображения также показало, что этот объект характеризуется кривой интенсивности от переданного импульса с наклоном, равным 2 в двойном логарифмическом масштабе.

Ещё один пример реализации закона сохранения — фрактал «дерево Пифагора», который представляет собой модель дерева «сбоку». Этот фрактал тоже строится итерационно, основываясь на известной теореме Пифагора, которая гласит: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Для построения классического «дерева Пифагора» берётся исходный квадрат, на верхней его стороне достраивается равнобедренный прямоугольный треугольник, на катетах которого, как на сторонах, строятся два новых квадрата. При этом оказывается, что сумма площадей добавленных квадратов равна сумме исходного квадрата.

Численный эксперимент, моделирующий технику рассеяния света на изображении «дерева Пифагора», подтвердил, что это изображение является логарифмическим фракталом.

Изучение изображений различных деревьев с помощью метода численного Фурье-анализа открывает новые возможности для описания структуры деревьев. Исследования, проведённые нашей научной группой в Петербургском институте ядерной физики им. Б. П. Константинова, показали, что большинство фотографий деревьев содержат крупный фрагмент, соответствующий логарифмическому фракталу. Причём чем старше дерево, тем более выражен этот участок. Результаты опубликованы в журнале «Physical Review E» в апреле нынешнего года.

Изображения боковой проекции системы ветвления многих деревьев являются логарифмическими фракталами, а значит, для них должен выполняться закон сохранения площади: суммарная площадь боковой поверхности дерева на всех уровнях ветвления должна быть одинаковой и равняться площади ствола. Это новое знание, полученное при исследованиях фотографий деревьев, дополняет эмпирическое правило Леонардо и, важно отметить, является верным независимо от справедливости правила Леонардо. Отсюда можно сделать один весьма интересный вывод: дерево живёт лишь на поверхности, то есть дерево как живой объект является двумерным! Этот вывод достаточно легко объясним и с точки зрения ботаники: живая часть дерева сосредоточена у поверхности и остаётся живой недолго. Достаточно быстро отмирая, она превращается в древесину, которая не является живой тканью. И получается, что основной объём взрослого дерева состоит из мёртвой древесины, а небольшой «живой» слой сосредоточен у его поверхности. Среди специалистов началась дискуссия о том, отличается ли структура лиственных деревьев, которые сбрасывают листву (северные деревья), от вечнозелёных (южных) деревьев. Исследование структуры деревьев современными методами Фурье-анализа даст ответы на этот и другие вопросы в ближайшем будущем.

Иллюстрации предоставлены автором.

Другие статьи из рубрики «Вести из институтов»

Портал журнала «Наука и жизнь» использует файлы cookie. Продолжая пользоваться порталом, вы соглашаетесь с хранением и использованием порталом и партнёрскими сайтами файлов cookie на вашем устройстве. Подробнее