Портал создан при поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям.

ЕЩЕ РАЗ ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ АТТРАКТОРАХ

Доктор физико-математических наук, профессор Р. БАХТИЗИН, К. ШТУКАТУРОВ, аспирант.

В журнале "Наука и жизнь" № 9 за 2000 год была опубликована наша заметка "Арифметические аттракторы", которая вызвала широкий отклик у читателей, а в № 10 за 2002 год - статья П. Лукьянова с доказательством нашей гипотезы. Кроме того, мы получили и продолжаем получать письма от читателей, которые также приводят свои доказательства гипотезы. Особенно хотелось бы отметить читателя из Германии А. Вильнера, приславшего несколько оригинальных и изящных, математически строгих доказательств, а также свои комментарии к доказательствам других авторов.

Сам термин "аттрактор" был взят нами из теории динамических систем и адаптирован к ряду простейших операций с натуральными числами. При этом мы получили аналоги так называемых точечных аттракторов, или положений равновесия.

В теории динамических систем широко известны аттракторы и других типов, например периодические, или так называемые предельные циклы. Примером такого аттрактора может служить конический маятник, движущийся без затухания. Он описывает окружность с радиусом, равным амплитуде колебания (при наличии затухания у него будет точечный аттрактор - положение равновесия).

Обеспечим библиотеки России научными изданиями!

Учитывая интерес, проявленный читателями к нашей предыдущей заметке, мы попытались построить аналоги и таких аттракторов, используя понятия, близкие к рассмотренным ранее.

Пусть а - k-значное натуральное число, а* - инверсное к нему. Обозначим через |а-а*|k модуль разности указанных чисел, индекс k означает, что при получении числа с меньшим чем k количеством цифр оно дополняется спереди необходимым количеством нулей. Например, а = 1021 а* = 1201, тогда |а-а*|4 = 0180.

Возьмем произвольное k-значное число ao, выстроив последовательность по формуле

an+1 = |аn-а*n|, где n = 0,1,2..,

и проследим, что с ней происходит.

Начнем с k = 1. Ясно, что а = а*, и при первом же шаге мы получаем нуль, то есть точечный аттрактор (все однозначные натуральные числа "притягиваются" к нулю). Для двузначных чисел легко получить непосредственным перебором, что симметричные числа 11, 22,... ,99 "притягиваются" к нулю, а все остальные выходят на один и тот же предельный цикл. Например, для ао = 13 получим последовательность:

Данный результат продемонстрирован на рис. 1 - своеобразном "фазовом портрете" отображения, указанного выше. Черным цветом показаны аттракторы: точечный (нуль) и предельный цикл (для большей наглядности клеточки цикла соединены линией). Серым цветом изображены симметричные числа, представляющие собой как бы "область притяжения" к нулю, а белым - область притяжения предельного цикла.

Как показывают вычисления, для трехзначных чисел картина не изменится. Симметричные числа "притягиваются" к нулю, остальные выходят на предельный цикл: {693, 297, 495, 099, 891}. Для четырехзначных чисел картина будет другой. Помимо точечного аттрактора A1 ={0} появляются предельные циклы: три, состоящие из пяти чисел: А2 ={0999, 8991, 6993, 2997, 4995}, А3 ={0909, 8181, 6363, 2727, 4545}, А4 ={0090, 0810, 0630, 0270, 0450}, и один А5 ={6534, 2178} из двух чисел. Таким образом, получаем пять аттракторов.

Соответствующий "фазовый портрет" показан на рис. 2 (все четырехзначные числа размещены в клеточках квадрата по тому же правилу, что и на рис. 1). Аттракторы изображены черным цветом и соединены линиями. Области притяжения к соответствующим аттракторам раскрашены розовым (A1), белым (А2), голубым (А3), желтым (А4) и зеленым (А5) цветами.

Из рисунка видно, что области притяжения заполняют квадрат симметрично, создавая своеобразный "ковер". Причем в область 10x10 в левом верхнем углу (она составляет 1% общего количества чисел) попадают представители из областей притяжения всех аттракторов. Если такая картина сохраняется с увеличением k (это, конечно, гипотеза), этот факт может существенно сократить объем вычислений для больших чисел.

С учетом данной гипотезы нами были рассчитаны аттракторы до k=11. Результаты приведены в таблице.

Из таблицы видна закономерность: число аттракторов растет с увеличением числа цифр на два (происходят бифуркации). А вот предсказать распределение аттракторов (сколько их будет и каких) в зависимости от k, на наш взгляд, не такая простая задача. Тех, кого она заинтересовала, мы приглашаем обсудить полученные результаты (наши адреса в Интернете: bahtizin@rusoil.net, ogb@rusoil.net).


Случайная статья


Другие статьи из рубрики «Математические досуги»