Портал создан при поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям.

ЕЩЕ РАЗ ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ АТТРАКТОРАХ

Доктор физико-математических наук, профессор Р. БАХТИЗИН, К. ШТУКАТУРОВ, аспирант.

В журнале "Наука и жизнь" № 9 за 2000 год была опубликована наша заметка "Арифметические аттракторы", которая вызвала широкий отклик у читателей, а в № 10 за 2002 год - статья П. Лукьянова с доказательством нашей гипотезы. Кроме того, мы получили и продолжаем получать письма от читателей, которые также приводят свои доказательства гипотезы. Особенно хотелось бы отметить читателя из Германии А. Вильнера, приславшего несколько оригинальных и изящных, математически строгих доказательств, а также свои комментарии к доказательствам других авторов.

1. "Фазовый портрет" для двузначных чисел.
1. "Фазовый портрет" для двузначных чисел.
2. "Фазовый портрет" для четырехзначных чисел.
2. "Фазовый портрет" для четырехзначных чисел.

Сам термин "аттрактор" был взят нами из теории динамических систем и адаптирован к ряду простейших операций с натуральными числами. При этом мы получили аналоги так называемых точечных аттракторов, или положений равновесия.

В теории динамических систем широко известны аттракторы и других типов, например периодические, или так называемые предельные циклы. Примером такого аттрактора может служить конический маятник, движущийся без затухания. Он описывает окружность с радиусом, равным амплитуде колебания (при наличии затухания у него будет точечный аттрактор - положение равновесия).

Обеспечим библиотеки России научными изданиями!

Учитывая интерес, проявленный читателями к нашей предыдущей заметке, мы попытались построить аналоги и таких аттракторов, используя понятия, близкие к рассмотренным ранее.

Пусть а - k-значное натуральное число, а* - инверсное к нему. Обозначим через |а-а*|k модуль разности указанных чисел, индекс k означает, что при получении числа с меньшим чем k количеством цифр оно дополняется спереди необходимым количеством нулей. Например, а = 1021 а* = 1201, тогда |а-а*|4 = 0180.

Возьмем произвольное k-значное число ao, выстроив последовательность по формуле

an+1 = |аn-а*n|, где n = 0,1,2..,

и проследим, что с ней происходит.

Начнем с k = 1. Ясно, что а = а*, и при первом же шаге мы получаем нуль, то есть точечный аттрактор (все однозначные натуральные числа "притягиваются" к нулю). Для двузначных чисел легко получить непосредственным перебором, что симметричные числа 11, 22,... ,99 "притягиваются" к нулю, а все остальные выходят на один и тот же предельный цикл. Например, для ао = 13 получим последовательность:

Данный результат продемонстрирован на рис. 1 - своеобразном "фазовом портрете" отображения, указанного выше. Черным цветом показаны аттракторы: точечный (нуль) и предельный цикл (для большей наглядности клеточки цикла соединены линией). Серым цветом изображены симметричные числа, представляющие собой как бы "область притяжения" к нулю, а белым - область притяжения предельного цикла.

Как показывают вычисления, для трехзначных чисел картина не изменится. Симметричные числа "притягиваются" к нулю, остальные выходят на предельный цикл: {693, 297, 495, 099, 891}. Для четырехзначных чисел картина будет другой. Помимо точечного аттрактора A1 ={0} появляются предельные циклы: три, состоящие из пяти чисел: А2 ={0999, 8991, 6993, 2997, 4995}, А3 ={0909, 8181, 6363, 2727, 4545}, А4 ={0090, 0810, 0630, 0270, 0450}, и один А5 ={6534, 2178} из двух чисел. Таким образом, получаем пять аттракторов.

Соответствующий "фазовый портрет" показан на рис. 2 (все четырехзначные числа размещены в клеточках квадрата по тому же правилу, что и на рис. 1). Аттракторы изображены черным цветом и соединены линиями. Области притяжения к соответствующим аттракторам раскрашены розовым (A1), белым (А2), голубым (А3), желтым (А4) и зеленым (А5) цветами.

Из рисунка видно, что области притяжения заполняют квадрат симметрично, создавая своеобразный "ковер". Причем в область 10x10 в левом верхнем углу (она составляет 1% общего количества чисел) попадают представители из областей притяжения всех аттракторов. Если такая картина сохраняется с увеличением k (это, конечно, гипотеза), этот факт может существенно сократить объем вычислений для больших чисел.

С учетом данной гипотезы нами были рассчитаны аттракторы до k=11. Результаты приведены в таблице.

Из таблицы видна закономерность: число аттракторов растет с увеличением числа цифр на два (происходят бифуркации). А вот предсказать распределение аттракторов (сколько их будет и каких) в зависимости от k, на наш взгляд, не такая простая задача. Тех, кого она заинтересовала, мы приглашаем обсудить полученные результаты (наши адреса в Интернете: bahtizin@rusoil.net, ogb@rusoil.net).


Случайная статья


Другие статьи из рубрики «Математические досуги»