Портал создан при поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям.

Задачки от Гулливера, или Геометрия подобия в романах Джонатана Свифта

Кандидат педагогических наук Наталья Карпушина.

В знаменитом романе «Путешествия Гулливера» ирландского писателя-сатирика, поэта и общественного деятеля Джонатана Свифта (1667—1745) его герой Лемюэль Гулливер совершает четыре увлекательных путешествия. Отплывая каждый раз из вполне конкретного, реально существующего на карте портового города, он неожиданно попадает в диковинные страны. Сначала — в Лилипутию, где живут очень маленькие люди, и он предстаёт перед ними как человек-гора. Потом оказывается в государстве Бробдингнег, населённом людьми-великанами, и превращается там в лилипута. В третьем путешествии Гулливера занесло на летающий остров Лапуту, а в четвёртом — в страну гуингнмов, где миром правят лошади. Да вы сами всё это знаете, ведь без романа Д. Свифта не вырос, наверное, ни один ребёнок. Но давайте задумаемся над тем, что геометрия, а именно идея подобия, играет в романе очень важную роль, во всяком случае, в двух первых путешествиях Гулливера.

Несомненно, философы правы, утверждая, что понятия великого и малого суть понятия относительные.
Д. Свифт. Путешествие в Бробдингнег

ДЮЙМ ПРОТИВ ФУТА

В стране лилипутов английскому футу соответствовал дюйм. Это означает, что все её обитатели и окружавшие их предметы были в 12 раз меньше тех, что окружают нас, по высоте, толщине и т.д. Вот что поведал главный герой:

«Средний рост туземцев немного меньше шести дюймов, и ему точно соответствует рост как животных, так и растений: например, лошади и быки не бывают там выше четырёх или пяти дюймов, а овцы выше полутора дюймов; гуси равняются нашему воробью, и так далее вплоть до самых крохотных созданий… Самые высокие деревья в Лилипутии не больше семи футов… Вся остальная растительность имеет соответственные размеры…»

В глазах Гулливера столица Лилипутии, куда его доставили по велению императора, походила на театральную декорацию, а окружавшая город местность казалась одним большим цветущим садом. Выражаясь языком геометрии, миниатюрный мир лилипутов, детально описанный Свифтом, был подобен миру Гулливера.

ТОЧНЫЙ РАСЧЁТ

Из воспоминаний Гулливера:

«…по приказанию императора для меня была изготовлена постель. Ко мне были привезены шестьсот матрацев обыкновенной [для лилипутов] величины; сто пятьдесят штук были сшиты вместе, и таким образом образовался один матрац, подходящий для меня в длину и ширину; четыре таких матраца положили один на другой, но, несмотря на это, моя постель была немногим мягче гладкого каменного пола. По такому расчёту были сделаны также простыни, одеяла и покрывала…»

Вычисления показывают: на изготовление матраца для Гулливера требовалось 122 × 4 = 576 лилипутских матрацев, а не 600, как указал автор (очевидно, «ошибка» продиктована стремлением Свифта упростить расчёты и округлить ответ). Согласимся и с тем, что постель была слишком жёсткой, ведь матрац оказался втрое тоньше, чем полагалось его сделать.

Далее герой сообщает:

«…в последнем пункте условий моего освобождения император постановляет выдавать мне еду и питьё в количестве, достаточном для прокормления 1728 лилипутов».

Всё верно: за один приём пищи Гулливер должен был съедать и выпивать в 123 = 1728 раз больше лилипута. В книге рассказывается, как проводился этот расчёт:

«Спустя некоторое время я спросил у одного моего придворного друга, каким образом была установлена такая точная цифра. На это он ответил, что математики его величества, определив высоту моего роста... и найдя, что эта высота находится в таком отношении к высоте лилипута, как двенадцать к единице, пришли к заключению, что объём моего тела равен по крайней мере объёму 1728 тел лилипутов, а следовательно, оно требует во столько же раз больше пищи».

СМЫШЛЁНЫЕ БЕЛОШВЕЙКИ

Как видим, лилипуты неплохо разбирались в геометрии и умело применяли её законы на практике. Достоин упоминания, например, оригинальный способ, с помощью которого белошвейки сняли с Гулливера мерки, чтобы сшить для него бельё.

«Они смерили большой палец [моей] правой руки и этим ограничились. Посредством математического расчёта, основанного на том, что окружность кисти вдвое больше длины пальца, окружность шеи вдвое больше окружности кисти, а окружность талии вдвое больше окружности шеи, и при помощи старой моей рубахи, которую я разостлал на земле перед ними как образец, они сшили мне бельё вполне по росту».

Описанный способ — ещё одно свидетельство смышлёности лилипутов и их познаний в области математики — вполне применим на практике. Указанное соотношение размеров перечисленных частей тела человека весьма близко к действительному, а длина большого пальца руки Гулливера справедливо была выбрана белошвейками в качестве единицы измерения. К тому же этот способ чрезвычайно прост, поскольку требует снятия всего одной мерки.

ДРЕРР, ГЛЮМГЛЕФФ И БЛЕСТРЕГ

В систему мер, принятую в Лилипутии, входили как минимум три единицы длины. Самая мелкая из них — дрерр. О ней в разговоре с Гулливером упомянул главный секретарь по тайным делам государства:

«Вы, должно быть, заметили, что каблуки на башмаках его величества на один дрерр ниже, чем у всех придворных (дрерр равняется четырнадцатой части дюйма)».

О второй единице длины герой услышал от местных моряков. Перед тем как отправиться вплавь к берегам империи Блефуску, отделённой от Лилипутии проливом, Гулливер поинтересовался его глубиной. И вот что узнал:

«…[моряки] сообщили мне, что при высокой воде глубина в средней части пролива равняется семидесяти глюмглеффам, что составляет около шести европейских футов».

Наконец, наиболее крупная единица длины встретилась герою в документе, содержавшем условия его освобождения. В бумаге отмечалось, что владения «могущественнейшего императора Лилипутии, отрады и ужаса вселенной» охватывают в окружности пять тысяч блестрегов, или около двенадцати миль.

Задача. Выразите дрерр, глюмглефф и блестрег в единицах метрической системы мер. Определите примерные размеры и площадь государства лилипутов, а также его столицы, которая, по словам Гулливера, в плане имела форму правильного четырёхугольника и была окружена стеной со стороной, равной пятистам футам.

ШАГ ИСПОЛИНА

В своём следующем путешествии герой Свифта попал в страну великанов. В ней дюйму соответствовал фут, поэтому все люди, животные, растения и вещи в 12 раз превосходили по размеру наши земные. В сравнении с жителями Бробдингнега Гулливер выглядел лилипутом. Карлик королевы, ниже которого не было человека во всей стране, — и тот казался рядом с ним огромного роста.

Как вспоминал позже Гулливер, при первой встрече с исполинами его охватили смятение и ужас. Спасаясь бег-ством, он укрылся в поле среди стеблей ячменя, но едва не погиб под ногами одного из великанов. Дадим слово самому герою:

«…один из жнецов подошёл на десять ярдов к борозде, в которой я лежал; испугавшись, что при следующем его шаге я буду растоптан или разрезан пополам серпом, я завопил, что есть мочи».

Но может, Гулливер преувеличил от страха угрожавшую ему опасность?

Задача. По оценке Гулливера, длина шага великана составляла десять ярдов. Так ли это? Ему действительно было от чего запаниковать?

ПРОТЯЖЕНИЕ ГОРОДА

Помните ли вы, как Гулливер определил размеры столицы страны великанов? Читаем в «Путешествии в Бробдингнег»:

«Город расположен по обоим берегам пересекающей его реки. Он тянется в длину на три глонглюнга (около пятидесяти четырёх английских миль), а в ширину — на два с половиной глонглюнга. Я лично произвёл эти измерения на карте, составленной по приказанию короля и нарочно для меня разложенной на земле, где она занимала пространство в сто футов*. Разувшись, я прошёл несколько раз по диаметру окружности карты, сосчитал число моих шагов и без труда определил по масштабу протяжение города».

Задача. На чём основан описанный способ измерения? Как в данном случае применяется идея подобия?

БАШНЯ ВЕЛИКАНОВ

Рассказывая о достопримечательностях столицы Бробдингнега, Гулливер замечает:

«Мне очень хотелось посетить главный храм и особенно возвышавшуюся над ним башню, которая считалась самой высокой в королевстве… Однако я, признаться, разочаровался в своих ожиданиях, так как высота башни была не более трёх тысяч футов, считая от основания до вершины; следовательно, если принять во внимание разницу в росте европейца и туземца, башня эта не представляла собой ничего достойного удивления, ибо (если память не изменяет мне) она далеко не достигала высоты колокольни в Солсбери**, в соответствующей пропорции».

Задача. На сколько футов (разумеется, в соответствующей пропорции) постройка великанов была ниже колокольни в городе Солсбери, высота которой равна 404 футам?

(Ответы в следующем номере.)

Рисунки Жана Гранвиля выполнены в 1838 году (из книги Д. Свифта «Путешествие Гулливера». — М.: Огиз, 1947).

***

Подобие — преобразование пространства, при котором линейные размеры фигур изменяются в одном и том же отношении, то есть умножаются на одно и то же число К, называемое коэффициентом подобия. Соответственно отношение линейных размеров подобных фигур равно К, отношение площадей — К2, а отношение объёмов — К3.

1 дюйм равен 1/12 фута, или 2,54 см.

1 ярд равен 3 футам, или 0,914 м.

Комментарии к статье

* Имеются в виду, конечно, квадратные футы. Перевод неточен.

** Речь идёт о башне местного кафедрального собора с самым высоким в Британии шпилем.


Случайная статья


Другие статьи из рубрики «Математические досуги»