МЕРА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Кандидат физико-математических наук Владимир ХОРТ.



Считается, что на ранних ступенях развития человечество считать не умело. Скорее всего, люди различали один, два, возможно даже три объекта, но большие количества они объединяли понятием «много». В наши дни на берегах Амазонки живёт племя пираха, которое, по мнению исследователя из университета Колумбия (США) Питера Гордона, ухитряется обходиться системой счисления, в которую входят один — «ой» (hói), два — «ои» (hoí) и много — «аибааги» (aibaagi). В этой нехитрой математике, если к одному прибавить один, получится «ои» — два. А вот если к двум прибавить один или два, получится одинаковый результат: «аибааги» — много.

Несмотря на отсталость такой «первобытной» математики, цивилизованным людям тоже приходится иметь дело с эквивалентом «аибааги». В какой-то степени туземное «много» сродни нашей бесконечности. Как вы думаете, сильно ли отличаются две величины: ∞ и ∞+1? C точки зрения обычного человека, первая величина на единицу меньше второй. Но для математиков эти две величины одинаковы. Представьте себе, рассуждают они, гостиницу с бесконечным количеством номеров, где в каждом номере живёт постоялец (для такого отеля придумали даже термин «Гранд-отель Гильберта»). Как найти место для ещё одного гостя? Очень просто, нужно поселить его в первый номер, а проживающего там клиента попросить переехать во второй номер, второго — в третий и так далее. В гостинице новых номеров не прибавилось, но место для приезжего нашлось, а значит, ∞ = ∞+1.

Всё же не все бесконечные множества оказались одинаковыми, и для их измерения ввели понятие мощности. Скажем, минимально возможным из всех бесконечных множеств, «счётным», принято считать мощность множества натуральных чисел (положительных и целых). А вот множество действительных чисел (рациональных, которые можно выразить в виде правильной дроби, и иррациональных, которые в таком виде не выражаются), хотя и бесконечное, но уже больше «счётного», и его мощность обозначают как «континуум». Таким способом математики измеряют бесконечные множества почти полтора века, хотя точность подобной методики напоминает в некоторой мере математику туземцев пираха.

На практике люди бесконечностью считают то, что трудно поддаётся счёту, — помните, у Ломоносова: «Открылась бездна звезд полна, звездам числа нет, бездне — дна». Астрономы давно подсчитали число видимых невооружённым глазом звёзд и даже занесли их в справочники, но для обывателя звёзд на небе по-прежнему «аибааги» — много. Если же вдруг в небе появится новая звезда, их число увеличится на одну. Но всё равно их останется «аибааги».

Доктор физико-математических наук Ярослав Сергеев, профессор Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, предложил ввести для измерения бесконечных множеств другую меру. Он обозначил количество всех натуральных чисел 1, 2, 3 и т.д. специальным термином — «гросс-единицей» (от английского gross one — крупная единица) и ввёл для него специальный символ — . Отличается «гросс-единица» от такой меры, как мощность, тем, что позволяет точнее различать бесконечные множества. Мощность множества натуральных чисел (1, 2, 3 и т.д.) и натуральных чисел больше единицы (2, 3, 4 и т.д.) одинаковая — счётная. А с позиций «гросс-единицы» второе множество измеряется величиной – 1. И оно содержит на единицу меньше элементов, чем первое.

С «гросс-единицей» можно выполнять все арифметические действия: складывать, вычитать, умножать и делить на целые числа, для неё действуют привычные арифметические правила:

+a=a+;

+=2×;

0 ×=×=;

–=0;

:=1;

⁰=1;

1=1.

Для нового числа действует правило: часть всегда меньше целого: <+1.

Удивительно, но при подобном подходе к измерению бесконечных величин не удаётся найти противоречий. По крайней мере, вот уже несколько лет новое число благополучно сосуществует с традиционной бесконечностью ∞. Более того, с помощью «гросс-единицы» можно измерять и другие, прежде бесконечные величины. Например, количество чётных чисел будем обозначать как /2. Тогда количество всех нечётных чисел составит –/2=/2.

Впрочем, с чего это мы решили, что количество чётных и нечётных чисел одинаково? Если хотите, можете считать, что чётных чисел на одно больше. Тогда, обозначив X количество нечётных чисел, получаем, что X+1 — количество чётных чисел, а их общее количество как раз «гросс-единица»:

X+(X+1)=.

Решая это несложное уравнение привычными методами, получаем, что (–1):2 — количество нечётных чисел, а (+1):2 — чётных.

И опять не удаётся найти (по крайней мере, вот уже несколько лет) никакого противоречия при подобном подходе. Если и впредь не удастся доказать, что количество чётных чисел совпадает с количеством нечётных чисел, придётся подобное утверждение принимать как аксиому.

«Гросс-единица» позволяет навести порядок в бесконечных величинах, для измерения которых прежде использовали понятие «мощности множества». Скорее всего, бюджет государства, способного выстроить «Гранд-отель Гильберта», тоже бесконечен. Как удобно было бы управляться с ним, даже если бы он был минимально возможным — «счётным» бюджетом. Выделяй 90% средств на социальные нужды, всё равно на другие бюджетные статьи останется «счётное» количество денег. С помощью «гросс-единицы» можно вести «бухгалтерский учёт» даже при бесконечном бюджете, размер которого иному туземцу покажется «аибааги».

Пользоваться «гросс-единицей» уже научили компьютер: создана первая программа-калькулятор, которая выполняет арифметические действия как с конечными числами, так и с «гросс-единицей». Использование  открывает возможности оперировать на компьютере не только с бесконечно большими, но и с бесконечно малыми величинами.

Работа с «гросс-единицей» не сильно отличается от обычных алгебраических преобразований. Например, легко упростить выражение:

(–1)×(+1)=²–1.

По смыслу это значит примерно следующее: «гросс-единица» сопоставима с количеством натуральных чисел, а 2–1 — это почти «гросс-единица» в квадрате. Ну если быть совсем точным, то на единицу поменьше. Это значительно больше, чем просто .

Точно так же можно измерять и малые величины, например 1/.

Подобный подход позволяет упростить расчёты в теории пределов. Легко посчитать, к чему стремится выражение :



при x, стремящемся к ∞. Достаточно вместо x подставить «гросс-единицу» и выполнить с ней обычные алгебраические преобразования:



=1+(–1)/(+1) =2–2/(+1).

Сразу видно, что результат незначительно отличается от 2.

Любопытные результаты можно получить, если предложить компьютеру использовать в вычислениях «гросс-единицу». Например, выяснить, чему равно



при x, близких к 0. Вычисляя значения sin(1/), компьютер воспользуется формулой Тейлора:

sin(1/)=1/–1/(6³)+…, а значит,

= (1/–1/(6³)+…):(1/)= 1–1/(6⁴)+…

Для человека результат незначительно отличается от 1, а компьютер, который научили пользоваться «гросс-единицей», сможет выделить существенную часть и бесконечно малый «остаток».

Пока трудно сказать, насколько широко будет использоваться «гросс-единица». Можно только утверждать, что новое понятие позволяет по-другому взглянуть на бесконечность, а заодно и научить компьютер обращаться с ней.