С о к р а т. … считаешь ли ты, что звезды на небе будут появляться, если никто их не станет наблюдать, а рыбы будут продолжать плавать, если никто не станет ловить их?
Г и п п о к р а т. Конечно. Как могли бы мы говорить о них, если бы их не было?
С о к р а т. Тогда скажи, если бы не было математики, были бы простые числа, и если да, то где?
Г и п п о к р а т. Не знаю, что и ответить. Ясно, что если математики думают о простых числах, значит они существуют в их сознании, но если бы не было математиков, не могло бы  быть и простых чисел.
С о к р а т. Значит, ты считаешь, что математики изучают несуществующие понятия?
Г п п о к р а т. Пожалуй, мы должны допустить это.
С о к р а т. Если я скажу, что математики занимаются тем, что или вовсе не существует или существует, но не так, как существуют звезды или рыбы, то буду ли я прав?
Г п п о к р а т. Вполне.
С о к р а т. Теперь рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Я написал на восковой табличке число 37. Ты видишь его?
Г и п п о к р а т. Да.
С о к р а т. И можешь дотронуться до него рукой?
Г и п п о к р а т. Конечно.
С о к р а т. Значит, числа существуют?
Г и п п о к р а т. Ты смеешься надо мной, Сократ. Послушай! Я нарисовал на такой же табличке дракона с семью головами. Разве это означает, что он существует? …
С о к р а т. Ты прав, Гиппократ, я с тобой согласен. Значит, хотя мы говорим о числах и даже можем написать их, на самом деле они не существуют?

Математика одна, но состоит из многих разделов. Математика абсолютно точная наука.

Я не знаком с "чистой" математикой. Полагаю, что она вся прикладная.

Не стоит обобщать. Иной смех сродни плачу. От бессилия и злобы.