Возможно, я скажу что то не так, ибо говорю так, как я это понимаю. Что бы понять релятивистский эффект постоянного магнита, нужно копнуть глубже, до атомного уровня, где электроны (электрический заряд) , двигаясь вокруг ядра, порождают магнитное поле. Относительно системы отсчета электрона, его магнитного поля не существует. Но притяжение с другими магнитными полями все равно остается, только это в системе отсчета электрона будет выглядеть иначе, чем из вне. Скажем, не как  "магнитное поле и магнитное поле",  а как "собственное электрическое поле и магнитное поле порожденное движущимся зарядом чужого электрона".

Совершенно верно, в данном случае нужно копать на квантовый уровень.

Тут такое дело. Не существует инерциальной системы отсчета, в которой электрические заряды постоянного магнита покоятся. Даже на полуклассическом уровне представлений электроны движутся вокруг ядра, отсюда и магнитный момент. В постоянном магните все такие моменты суммируются. Если моменты всех атомов одинаковы, то можно это представить на макроуровне, как электронный поверхностный ток. В этом смысле поле постоянного магнита задается его внешней границей и в аксиально симметричном магните похоже на поле солиноида.
В электроны в данном контексте лезть не нужно. Там все сложнее. Опять-таки, нет такой системы отсчета вообще, неважно инерциальной или нет, где бы электрон покоился. У него есть внутренняя степень свободы – спин, поэтому магнитное поле от него никакими преобразованиями не убрать. Спин это не движение в пространстве, но движение в расслоении.

А уравнения Максвелла, открытые в 19-м веке до появления теории относительности, разве не относятся к классическим представлениям?