Портал функционирует при финансовой поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям.

Страницы: Пред. 1 ... 4 5 6 7 8 ... 18 След.
RSS
число"Пи", почему отношение пл круга к пл сферы 1\4?
Хм. А "выпадение бесконечной последовательности двоичных знаков" (каких-бы то ни было), это вообще принципиально возможное событие?
В споре не рождается истина, но убивается время.
eLectric, конечно же, Вы не сможете подбросить монету или игральную кость бесконечное число раз, однако, нелишне напрячь абстрактное мышление.
Примеры бесконечных последовательностей:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... —  натуральные числа;
..., –4, –3,–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... —  целые числа;
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... —  простые числа;
дробная часть числа 1/3 = 0,3333333333333333333....
Цитата
BETEP IIEPEMEH пишет:
Кстати, на эту тему предлагаю все-таки решить подобную задачу по комбинаторике, чтобы все было корректно и не было разночтений. Пусть у нас есть последовательность из 1000 цифр (от 0 до 9, естественно). Для каждой цифры 0..9 вероятность того, что она стоит в позиции n - одинакова (для каждого n от 1 до 1000). Какова вероятность того, что в этой длинной последовательности встретится короткая последовательность из 10 одинаковых цифр? А из 11-ти цифр 0?
Какие будут варианты решения?
Последовательность, состоящую из n букв в d-буквенном алфавите будем называть q-угодной, если хотя бы одна из букв содержится в последовательности не менее q раз подряд.
Пусть Q(n) – число всех n-членных q-угодных последовательностей.
При n>q любую из них можно получить одним из двух взаимно исключающих способов:
1) К q-угодной (n-1)-членной дописываем любую из d букв.
2) К q-неугодной (n-q)-членной последовательности дописываем q раз любую букву, отличную от последней буквы этой последовательности

Отсюда рекуррентность:

Q(n)=d*Q(n-1)+(d-1)*(d^(n-q)-Q(n-q))

Поделив на d^n (число всех n-членных последовательностей) получим рекуррентность для вероятностей q-угодности:

P(n)=P(n-1)+(d-1)*d^(-q)*(1-P(n-q))

Ясно что P(n) монотонно возрастающая и ограничена сверху единицей. Переходя к пределу при n -> oo, отсюда получим lim P(n)=1.
В принципе нет сложностей, кроме вычислительных, для нахождения P(n). Если перейти от P(n) к дополнительной вероятности q-неугодности P’(n)=1-P(n), то рекуррентность примет вид линейной:

P’(n)=P’(n-1) )-(d-1)*d^(-q)*P’(n-q)

И проблема только лишь в нахождении корней характеристического многочлена степени q.

Для q=2, к примеру, есть только одна проблема – отсутствие удобств для написания простейших формул, типа корней квадратного уравнения.
Наука умеет много гитик
Цитата
Владимир Андреевич пишет:
конечно же, Вы не сможете подбросить монету или игральную кость бесконечное число раз, однако, нелишне напрячь абстрактное мышление.
Я и напрягаю. И поскольку бесконечное число бросков монеты есть невозможное событие, то и нулевая вероятность, в нашем случае, эквивалентна невозможному событию.
Обратите внимание, что вероятность бесконечной последовательности 11111... в точности равна вероятности последовательности 01111... или, скажем, 010101... Т.е., какую-бы бесконечную последовательность вы не указали, её вероятность равна нулю. Иначе говоря, как ни напрягай абстрактное мышление, не существует сколько-нибудь вероятной бесконечной последовательности.
Если кто-то скажет, мол натуральный ряд чисел существует, тогда уточним, что означает слово "существует". Существование идеального и Существование физического это разные вещи. Подбрасывание монетки, это физическое событие. Можно рассматривать его вероятность. Можно рассматривать вероятность серии из конечного числа подбрасываний. Серия из бесконечного числа подбрасываний, это невозможное событие и рассматривать его вероятность вообще бессмысленно.

Меня всегда занимал другой вопрос. В философии обычно противопоставляют случайное и необходимое. Так вот в самом ли деле знаки числа пи случайны? Или они необходимы? Скажем, третий знак числа пи равен "4". И вне зависимости от того, кто-бы это пи вычислял, в каком месте и в какое время он бы это не делал, третий знак с необходимостью всегда будет равен "4". Разве-ж это случайность?
В споре не рождается истина, но убивается время.
eLectric, дробная часть числа π может служить эквивалентом практически невыполнимого эксперимента.
Рекомендую скопировать нижеприведённые знаки, и вставлять их при необходимости в ваши сообщения.
Другие отсутствующие на клавиатуре знаки можно взять с разных web-страниц. Правда, не все они корректно отображаются в текстовом формате.

— → ← „” «» ° ¡ ¿ | – √ ≥ ± ÷ ∞ ∑ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ℓ × ? ¥ Ää Ææ Åå Àà Ââ Ãã Çç Èè Éé Êê Ëë Ðð Ìì Íí Îî Ïï £ Öö Øø Òò Óó Ôô Õõ Ññ $ ß Ùù Úú Ûû Üü Ýý Þþ
Нашел ответ на свой вопрос: "До сих пор не доказана нормальность числа Пи: встречаются ли в нем все цифры от 0 до 9 одинаково часто, или какая-то цифра встречается чаще, чем другие".

В первых 200,000,000,000 десятичных знаках Пи цифры встречались с такой частотой:
0  1  2  3  4  
20000030841  19999914711  20000136978  20000069393  19999921691  
5  6  7  8  9  
19999917053  19999881515  19999967594  20000291044  19999869180  

Примерно одинаково.

Интересные факты:
1. В десятичных позициях числа Пи 7, 22, 113, 355 — цифра 2. Дроби 22/7 и 355/113 - хорошие приближения к числу Пи.
2. Коханский нашел, что Пи является приблизительным корнем уравнения: 9х^4-240х^2+1492=0
3. Если записать заглавные буквы английского алфавита по часовой стрелке в круг и вычеркнуть буквы имеющие симметрию слева - направо: A,H,I,M,O,T,U,V,W,X,Y, то оставшиеся буквы образуют группы по 3,1,4,1,6 букв.
(A) BCDEFG (HI) JKL (M) N (O) PQRS (TUVWXY) Z  
            6                  3          1            4                          1
Так что английский алфавит должен начинаться с буквы Н, I или J, а не с буквы А  :)
Цитата
dr.Watson пишет:
При n>q любую из них можно получить одним из двух взаимно исключающих способов:
1) К q-угодной (n-1)-членной дописываем любую из d букв.
2) К q-неугодной (n-q)-членной последовательности дописываем q раз любую букву, отличную от последней буквы этой последовательности
Спасибо за Ваш вариант решения, в этом направлении мы сами только только начали двигаться. Но есть ряд вопросов.
Цитата
dr.Watson пишет:
Отсюда рекуррентность:
Q(n)=d*Q(n-1)+(d-1)*(d^(n-q)-Q(n-q))
Поясните ее, пожалуйста, этот результат не так уж и очевиден.

Первое слагаемое, видимо, связано с числом последовательностей, полученных дописыванием любой из d букв. Q(n-1) умножается на d (число букв в алфавите), потому что за счет удлинения последовательности на одну позицию число угодных последовательностей увеличивается в d раз, как и общее число вариантов, верно? Второй член связан со вторым вариантом получения угодной последовательности. Здесь d^(n-q) - общее число вариантов "укороченной на q" последовательности (число размещений с повторениями из d по n-q), Q(n-q) - число неугодных последовательностей в "укороченной на q" последовательности, а их разность, умноженная на d-1 (приписываем не все d букв последовательности, а на одну меньше, так как одна буква в укороченной последовательности уже есть) - это и есть общее число вариантов последовательностей, полученных вторым способом. Похоже, что так.

Может показаться,что это все еще не все стратегии получения угодных последовательностей, и между двумя крайними случаями "дописываем 1 букву" и "дописываем d-1 букву" должны быть еще варианты "дописываем d-b, 1 < b < d - 1" букву, которые тоже нужно считать. Однако, когда мы дописываем только первую из b букв, то автоматически получаем одну из n-q или n-1 последовательностей, которые уже посчитаны.

Последний вопрос, который может интересовать, это все ли варианты учтены этими двумя стратегиями. Например, включают ли они варианты, когда в последовательности есть две и более серии по q цифр подряд. Быстро ответить на этот вопрос я затрудняюсь. С одной стороны, может показаться, что этот вариант включен, потому что угодную последовательность мы можем рассматривать как неугодную, к которой можно приписать q-1 символ, чтобы получить угодную (или точнее, дважды угодную). Но будет ли в этом случае второй член в сумме выше именно таким, какой он есть, я пока не уверен, нужно подумать над этим вопросом.
Цитата
Цитата
Распределение цифр трансцендентного числа подчиняется законам теории вероятностей.
Не сочтите за труд уточнить, каким именно законам.
BETEP IIEPEMEH частично ответил на эту просьбу сразу вслед за ней.
Цифры последовательности взаимно независимы.
Цифры в ней имеют равномерное распределение. В случае десятиричной системы счисления вероятность угадать цифру в любом месте последовательности равна 1/10.
Вероятность угадать n десятиричных цифр случайной последовательности равна 1/10^n.


Цитата
Просто слова не очень удачно сложились.
Слова сложились вполне удачно, вот только ответил я не подробно. Да и зачем было приводить эти законы? Если бы я, например, на таблицу умножения сослался — не вставлять же мне её в свой пост — предполагается, что все участники её знают.


Цитата
А если эти же рассуждения перенести для 3-х значных цифр: т.е. посчитать какова вероятность того, что в последовательности всех 3-х значных цифр (XXX ) подряд следуют 2 одинаковые цифры:
1 - в этой комбинации также брать и такие числа 000 и 001 и тп.
2 - слева 0 не может выступить, т.е. числа 000, 001, 010 - не брать.
3-значных цифр не бывает! Бывают 3-значные числа.
Есть 1000 комбинаций: 000, 001, 002, ..., 998, 999.
Есть 9 комбинаций: 001, 002, 003, 004, 005, 006, 007, 008, 009
и 9 комбинаций: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900,
и 2 комбинации: 000 и 000.
В зависимости от постановки задачи (1. Какова вероятность встретить два нуля подряд в случайной последовательности из трёх десятеричных цифр? 2. Какова вероятность встретить ровно два нуля подряд в случайной последовательности из трёх десятеричных цифр?), ответ может быть: 1) 20/1000 = 1/50 = 0,02; 2) 18/1000 = 0,018.
Решим задачу иначе.
Вероятность выпадения двух нулей подряд равна 1/100, так как „00” есть один из ста возможных вариантов: 00, 01, 02, ..., 98, 99.
В последовательности из трёх случайных цифр есть 2 позиции, каждая из которых может быть первой для подпоследнвательности „00”, поэтому надо удвоить ранее полученное значение вероятности:
(1/100) × 2 = 2/100 = 1/50 = 0,02, что совпадает с решением „на пальцах”.
Если же здесь надо найти вероятность следования ровно двух нулей, то вероятность 1/100 надо умножить на вероятноссь того, что третья цифра не ноль:
(1/100) × (9/10) = 9/1000 = 0,009.
А поскольку возможных позиций две, то это значение удваиваем: 0,009 × 2 = 0,018, что опять же совпадает с результатом, полученным более очевидным способом.
Если наши последовательности и их подпоследовательности содержат иное количество цифр, задача решается аналогично. Если мы имеем второй вариант, то следует обращать внимание на возможное наличие слева и справа от подпоследовательности тех же цифр, что и в ней, умножая вероятность 1/10^n на 0,9 или на 0,9^2 = 0,81 — в зависимости от того, с одной (у крайних подпоследовательностей) или с двух сторон есть соседние цифры.
Внимание: несоседние цифры в рассмотренных примерах на результаты не влияют!


Цитата
Надо сказать, что существуют трансцендентные числа, у которых все цифры известны и у которых дикое статистическое распределение.
возьмите, например, число у которого в десятичной записи на местах номер 10, 100, 1000, 10000 и тд
стоят единички,
а на всех остальных --нули. По общей теории это число трансцендентно.
Можно привести сколь угодно много „диких” примеров, которые записываются более удобно:
7,110100100010000100000100000010000000100000000100000000010000­0...
(дробная часть состоит из цифр записанных друг за другом всех последовательно возрастающих степеней (начиная с нулевой) числа 10);
6,101001000100001000001000000100000001000000001000000000100000­0...
(дробная часть состоит из цифр записанных друг за другом всех последовательно возрастающих степеней (начиная с первой) числа 10);
5,123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343­5...
(дробная часть состоит из цифр записанных друг за другом всех натуральных чисел);
4,149162536496481100121144169196225256289324361400441484529576­6...
(дробная часть состоит из цифр записанных друг за другом квадратов всех натуральных чисел);
3,182764125216343512729100013311728219727443375409649135832685­9...
(дробная часть состоит из цифр записанных друг за другом кубов всех натуральных чисел).
А вдруг, эти числа числа лишь иррациональные, но не трансцендентные?
Вот ещё одно особое число:
2,215907752239107054362901317000527044462013942310555577012003­2...
(здесь и далее заведомо нет ни одной восьмёрки, а имеющиеся цифры распределены совершенно случайным образом).
Какие будут мнения о нём и ему подобных числах?


Цитата
и с вероятностью единица случайная цифра -- ноль.
? ? ? . . .
Изменено: Владимир Андреевич - 14.02.2010 18:59:44
Цитата
BETEP IIEPEMEH пишет:
Цитата dr.Watson пишет: Отсюда рекуррентность: Q(n)=d*Q(n-1)+(d-1)*(d^(n-q)-Q(n-q)) Поясните ее, пожалуйста, этот результат не так уж и очевиден.
Если Q(n) – количество q-угодных n-членных последовательностей, то d^n-Q(n) – количество q-неугодных.
При n>q рассмотрим n-членную q-угодную последовательность A. После удаления последней буквы получим последовательность A’. Эта последовательность либо q-угодна либо нет. В первом случае мы получаем, что A получена из q-угодной A’ приписыванием любой из d букв, что дает первое слагаемое в первое слагаемое d*Q(n-1) в рекуррентности. Во втором случае q-неугодная A’ приписыванием одной буквы становится q-угодной. Это означает, что A оканчивается на q одинаковых букв - в точности, то есть (q+1)-я буква с конца уже другая, иначе q-угодна A’. То есть A - результат приписывания q одинаковых букв к обрезанной с конца на q членов. Для приписывания имеем d-1 возможностей. Отсюда второе слагаемое (d-1)*(d^(n-q)-Q(n-q)).

Начальные условия для линейной рекуррентности очевидны: P’(1)= … =P’(q-1)=1, P’(q)=1-d^(1-q)
Наука умеет много гитик
Страницы: Пред. 1 ... 4 5 6 7 8 ... 18 След.
Читают тему (гостей: 2, пользователей: 0, из них скрытых: 0)

число"Пи"


Портал журнала «Наука и жизнь» использует файлы cookie. Продолжая пользоваться порталом, вы соглашаетесь с хранением и использованием порталом и партнёрскими сайтами файлов cookie на вашем устройстве. Подробнее