Учёные Физического института им. П. Н. Лебедева РАН в сотрудничестве с Институтом теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН получили новые результаты в области математической физики. На основе этих результатов можно строить довольно точные модели таких явлений, как сход лавины, лесные пожары или дорожные пробки.
Представим себе решётку из линий на плоскости — как на тетрадном листе в клеточку, только очень большом. И пусть эти линии на самом деле трубки, по которым течёт вода. С одной стороны этой системы трубок стоит бак с водой, а на каждой такой линии есть краники, которые случайным образом с некоторой вероятностью открыты или закрыты. В этом случае возникают следующие вопросы. Как в зависимости от величины этой вероятности понять, будет ли вода вытекать с другой стороны? Через сколько в среднем потоков вода прольётся? Сколько будет мест протекания? Если протекло в одном месте, то какова вероятность того, что протекло в другом? Похожие вопросы возникают и в случае возникновения дорожных пробок.
Сотрудники ФИАНа выяснили, что целый класс систем такого рода имеет внутри себя скрытую симметрию. Увидеть эту симметрию «невооружённым глазом» практически невозможно, но она просматривается математически и описывается в терминах объектов, называемых квантовыми группами. «Возбуждения» в этих системах, оказывается, можно представлять себе как некоторые «квазичастицы», подчиняющиеся так называемой дробной статистике.
Наука об изучении критических явлений такими методами имеет приложения в разных областях, прежде всего в физике. Среди перспективных практических приложений — расчёт развития снежной лавины и определение условий её возникновения.
В данном случае мы имеем дело с системами, пространственно разделённые части которых подозревают о существовании друг друга. Другое название этого явления — самоорганизующаяся критичность, то есть способность системы, развивающейся с какого-то конкретно взятого состояния, переводить себя в состояние с «дальним порядком». Например, мы бросили песчинку или снежок в одном месте, а в результате пошла лавина. (Вспомните фильм французского режиссёра Дорана Фирода «Взмах крыльев мотылька»).
Обычно физики для описания тех или иных явлений природы используют существующие разделы математики. В данном случае физикам пришлось внести заметный вклад в математику, а именно в теорию квантовых групп, которая активно развивается последние два десятилетия. Именно квантовые группы, по мнению сотрудников ФИАНа, могут помочь разобраться в том, как функционируют самоорганизующиеся системы.
Квантовые группы можно определить как набор существ, живущих своей жизнью и умеющих разумно действовать на некоторых объектах, например, переставлять какие-то точки, заплетать косы или запутывать узлы. Представим себе, что мы берём очень длинную леску и сильно её запутываем, а потом приглашаем кого-то, чтобы он сказал, что у нас получилось — узел или что-то другое. Понятно, что математически дать ответ на этот вопрос очень непросто. Человек же, пытающийся это выяснить, начнёт что-то перетягивать, что-то втягивать, то есть одну часть лески немного распутает, другую — ещё больше запутает. Исходный узел и узел после «обработки» будут запутаны совершенно по-разному. Поэтому с узлом должен быть связан какой-то математический объект, нечувствительный к «попыткам распутывания», и если для двух узлов эти математические объекты не совпадают, то никакими перетягиваниями превратить один узел в другой нельзя.
Когда-нибудь с помощью квантовых групп можно будет классифицировать все мыслимые самоорганизующиеся критичности.
