Применение законов сохранения энергии и импульса часто позволяет получать решение наиболее простым и изящным образом, избавляя от громоздких и утомительных расчетов. И совершенно необходимым оказывается их применение, когда законы взаимодействия тел неизвестны или описание поведения механической системы с помощью уравнений движения приводит к столь сложным соотношениям, что получить окончательное решение практически невозможно. Вместе с тем законы сохранения никогда не дают и не могут дать однозначного ответа на вопрос о том, что происходит. Но если, исходя из каких-либо других соображений, можно указать, что именно должно произойти , то законы сохранения дают ответ на вопрос, как это произойдет.
Программа вступительных экзаменов в вузы предусматривает знание абитуриентами законов сохранения импульса и механической энергии. Эти частные случаи законов изменения импульса и механической энергии могут быть доказаны с помощью законов Ньютона. Не повторяя вывода, имеющегося в школьных учебниках, напомним только их формулировки.
Закон изменения импульса: приращение импульса механической системы относительно инерциального наблюдателя за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действовавших на тела системы, за тот же промежуток времени. Следовательно, если импульс внешних сил, действовавших на тела системы, за рассматриваемый промежуток времени равен нулю, то импульс системы в конечный момент указанного промежутка времени будет равен импульсу системы в начальный момент. Такая формулировка является и достаточной и необходимой. Однако в таком виде закон сохранения импульса обычно не формулируют, так как проверить выполнимость указанного условия при неизвестном характере сил взаимодействия тел системы с внешними телами невозможно, а при известном задачу проще решить, не используя закон сохранения. Вместе с тем очевидно, что если сумма внешних сил, действующих на тела системы, в любой момент времени равна нулю (такую систему называют замкнутой), то импульс системы будет оставаться постоянным относительно любого инерциального наблюдателя в течение этого промежутка. Учитывая векторный характер фигурирующих в законе величин, можно утверждать, что при равенстве нулю суммы проекций внешних сил на некоторое направление в течение определенного времени проекция импульса системы на это направление будет оставаться неизменной при любых процессах в этой системе в указанный промежуток времени. Более того, если требуется определить изменение характера движения частей системы (а не системы в целом!) и известно, что силы взаимодействия этих частей во много раз превышают внешние силы, действующие на них, можно пренебречь действием внешних сил, то есть считать систему замкнутой. Обычно такая ситуация имеет место при взрывах, выстрелах и других подобных процессах. Однако при этом необходимо убедиться, что внешние силы все время остаются достаточно малыми.
Закон изменения механической энергии: приращение механической энергии системы тел относительно инерциального наблюдателя равно сумме работы внешних сил над телами системы и работы внутренних неконсервативных сил за рассматриваемый промежуток времени. Следовательно, если система изолирована (ни на одну ее точку не действуют внешние силы), а внутренние силы консервативны , ее механическая энергия относительно инерциального наблюдателя не зависит от времени. Приведенная формулировка закона сохранения механической энергии достаточна, но не необходима. Так, если в изолированной системе наряду с консервативными действуют силы сухого трения покоя, суммарная работа сил трения в силу третьего закона Ньютона равна нулю, и механическая энергия такой системы остается неизменной. Еще раз обратим внимание, что в приведенной формулировке закона сохранения механической энергии содержится требование изолированности, а не только замкнутости рассматриваемой системы тел.
Задача 1 (2000 г.). На тонкостенный обод заторможенного велосипедного колеса, ось которого расположена горизонтально и закреплена, намотана тонкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к ободу, а на другом конце висит груз массой m. Радиус колеса равен R, масса обода равна М. Пренебрегая трением, массой спиц, втулки и нити, найти величину ускорения A точек обода колеса через промежуток времени t после отпускания колеса, если в течение этого промежутка груз двигался поступательно.
Эта и следующая задачи трудны тем, что в программе вступительных экзаменов нет упоминания об уравнении динамики вращательного движения протяженных тел. Однако эти и подобные им задачи легко решаются с помощью закона сохранения механической энергии.
Решение. Будем считать лабораторную систему отсчета, в которой ось обода неподвижна, инерциальной. По условию обод недеформируемый, а нить нерастяжима. Поэтому можно утверждать, что в тот момент времени t, когда скорость груза становится равной v(t), точно такую же по величине линейную скорость должна иметь и любая точка тонкого обода. Как известно, кинетическая энергия материальной точки массой m, движущейся относительно инерциального наблюдателя со скоростью v, равна mv2/2, а кинетическая энергия системы точек равна сумме их кинетических энергий. Поэтому, пренебрегая в соответствии с условием задачи массой нити, спиц и втулки, можно считать, что в указанный момент времени кинетическая энергия системы "колесо - нить - груз - Земля" должна стать равной (M+m)v2/2. При этом мы считаем, что кинетическая энергия Земли при опускании груза остается неизменной. Последнее утверждение может показаться неверным. Действительно, если пренебречь влиянием на рассматриваемые тела других тел, указанную систему следует считать изолированной. Следовательно, поскольку импульс вращающегося вокруг неподвижной оси однородного твердого обода равен нулю, импульс нити тоже равен нулю (по условию задачи нить невесома), то на основании закона сохранения импульса нужно считать, что приращения импульсов груза и Земли по отношению к инерциальной системе отсчета должны быть одинаковыми по величине. Однако учитывая, что масса Земли во много раз больше массы груза, изменением скорости Земли по отношению к инерциальной системе отсчета, обусловленным движением груза, и ее кинетической энергией следует пренебречь. То есть действительно лабораторную систему можно считать инерциальной, а согласно условию - и консервативной. Поэтому на основании закона сохранения механической энергии можно утверждать, что приобретенная системой к моменту времени t кинетическая энергия равна убыли ее потенциальной энергии, обусловленной опусканием груза на высоту h. Очевидно, возможные перемещения груза малы по сравнению с радиусом Земли, а потому действующую на груз силу тяжести mg необходимо считать постоянной. Тогда из сказанного следует, что в любой допустимый по условию задачи момент времени t должно иметь место соотношение
(М + m) υ 2 (t) / 2 = m g h (t).
Поскольку на груз со стороны Земли действует не зависящая от положения груза сила тяжести и согласно сказанному выше величина тангенциальной составляющей ускорения точек обода aτи величина ускорения груза а должны быть равны, можно считать, что в любой момент времени t ускорение груза остается неизменным. Поэтому можно утверждать, что
υ (t) = at и h (t) = at 2/ 2.
Подставив эти соотношения в предыдущее уравнение, получим
Учитывая, наконец, что нормальная составляющая ускорения точки, движущейся по окружности радиусом R со скоростью v, равна an = υ 2 / R и направлена перпендикулярно тангенциальной составляющей ее ускорения, определим искомое ускорение точек обода колеса в заданный момент времени t = τ:
Задача 2 (2000 г.). Однородное тонкостенное кольцо массой m скатывается без проскальзывания по закрепленному желобу так, что его плоскость все время остается в плоскости вертикального сечения желоба, имеющего форму дуги окружности радиусом R. Радиус кольца r много меньше R. Найти силу, с которой кольцо будет действовать в нижней точке на желоб, если на высоте h = R/2 от этой точки кольцо имело скорость v.
Решение. При решении задачи будем, как обычно, пренебрегать влиянием воздуха на движение кольца. Поскольку кольцо скатывается без проскальзывания, то величина скорости v центра кольца и угловая скорость его вращения относительно горизонтальной оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, должны удовлетворять соотношению v=wr. Отсюда с учетом того, что кольцо тонкое, следует, что скорость любой i-той точки кольца vi=v+viвр, где viвр - скорость этой точки относительно центра кольца. Поэтому кинетическая энергия катящегося без проскальзывания кольца должна быть равна:
так как массы диаметрально противоположных точек кольца mi в силу его однородности равны, а их скорости, обусловленные вращением колеса вокруг своей оси, равны по величине, но противопо ложны по направлению.
Поскольку кольцо скатывается без проскальзывания, действующая на него со стороны желоба сила сухого трения является силой трения покоя, и ее работа над кольцом и желобом равна нулю. Поэтому, если, как обычно, считать систему "кольцо - желоб - Земля" изолированной и пренебречь силами трения качения, можно утверждать, что для нее должен выполняться закон сохранения механической энергии. Учитывая, что масса Земли во много раз больше массы кольца, изменение ее скорости при движении кольца пренебрежимо мало, поэтому лабораторная система инерциальна (см. решение предыдущей задачи). Тогда, с учетом сказанного ранее, можно утверждать, что приращение кинетической энергии рассматриваемой системы тел должно быть равно убыли ее потенциальной энергии. Если скорость кольца в нижней точке траектории обозначить vн, приращение его кинетической энергии при скатывании до нижней точки желоба
∆ Wк = mυ н2 - mυ 2.
При этом убыль потенциальной энергии системы, считая ускорение свободного падения g постоянным и учитывая, что по условию задачи h = R/2 >> r, будет ∆ Wп = (h - r) mg ~ mgR/2. Из сказанного следует, что в нижней точке траектории скорость кольца должна стать
Поскольку в этой точке ускорение кольца направлено вертикально вверх и равно vн2/R, тангенциальная составляющая действующей на кольцо силы реакции желоба (сила сухого трения покоя) равна нулю, а нормальная составляющая N указанной силы, согласно второму закону Ньютона, должна быть равна (g+vн2/R) m. Следовательно, согласно третьему закону Ньютона, искомая сила, с которой кольцо действует на желоб, равна
F = -N = (υ 2 / gR + 1,5) mg.
Задача 3 (1999 г.) Длинная трубка, запаянная с одного конца, наполнена ртутью и закрыта легкой пробкой, касающейся ртути, но не оказывающей на ртуть никакого давления. Внутри трубки находится часть пробки длиной L. Масса ртути равна m, площадь поперечного сечения трубки - S, атмосферное давление - ра. Удерживая пробку, трубку поворачивают отверстием вертикально вниз. После этого пробку отпускают, и она вылетает из удерживаемой неподвижной трубки. Зная, что сила трения, действующая на пробку со стороны трубки, изменяется по закону F = (1 - x/L)F 0, где х - длина участка пробки, вышедшего из трубки, найти скорость пробки в момент ее вылета. Силами трения ртути пренебречь.
Решение. При решении задачи будем считать, что в момент отпускания пробки трубка вместе с ее содержимым покоилась относительно лабораторной системы отсчета, которую будем считать инерциальной.
Применим закон изменения механической энергии к системе "ртуть - пробка". По условию задачи массой пробки и силами вязкого трения ртути о стенки трубки следует пренебречь и считать, что в исходном состоянии пробка не действует на ртуть. Поэтому после переворачивания со стороны стенок и дна трубки на ртуть действуют только силы, направленные горизонтально. Тогда на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что приращение кинетической энергии ртути и пробки равно, с одной стороны, приращению лишь кинетической энергии ртути, а с другой - работе сил тяжести, действующих на ртуть, сил атмосферного давления и сил трения, действующих на пробку. Поскольку после отпускания пробка вылетает из трубки, можно утверждать, что максимальная величина силы трения, действующей на пробку, удовлетворяет неравенству 0 < F0 < mg - paS. Учитывая, что все частицы ртути и пробки (если считать их несжимаемыми) вплоть до момента вылета должны иметь направленные вертикально вниз одинаковые скорости, приращение кинетической энергии указанных тел к моменту вылета пробки должно быть равно mv2 / 2, где v - искомая скорость вылета пробки из трубки. Пренебрегая изменением атмосферного давления и ускорения свободного падения g при перемещении пробки на расстояние L, можно считать, что силы тяжести совершат над пробкой и ртутью положительную работу, равную A = mgL, работа же сил атмосферного давления будет отрицатель ной и равной Aат= - paSL, так как направление результирующей силы атмосферного давления противоположно направлению перемещения пробки.
Вычислить величину работы силы трения, действовавшей на пробку со стороны трубки, можно с помощью рисунка, на котором показана зависимость величины этой силы от длины х вышедшего из трубки участка пробки. По определению элементарная работа изменяющейся силы F при столь малом (элементарном) перемещении Dr точки ее приложения, что силу на этом перемещении можно считать постоянной как по величине, так и по направлению относительно ∆r, равна ∆A = F∆r. В соответствии с этим элементарная работа силы трения при перемещении пробки на малое расстояние , когда из трубки вышла часть пробки длиной , по модулю равна площади затененного на рисунке прямоугольника. Поэтому величина всей работы сил трения будет равна площади треугольника F00L, то есть F0 L/2. Таким образом, искомая скорость должна удовлетво рять соотношению
mυ2 / 2 = mgL - paSL - F0L / 2
и, следовательно,
Отметим, что подкоренное выражение при допустимых значениях всех входящих в него величин положительно, если только пробка может вылететь из трубки, то есть выполняется приведенное выше двойное неравенство 0 < F0 < mg - paS.
(Окончание следует.)
